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1、rT主对角线帀对角线二阶行列式的计算a 11 a 22a 12 a 2i二元线性方程组a11 X1+I|a21|x1+a 12 x 2 |a 22 | x 2 -b 1 b 2若令D =11a 12 I|a 21a 22 |D 1 =4*b 1 b 2a 12a 22D 2 =J a 11a 21*b 1 b 2则上述二元线性方程组的解可表示为122211221221a 11b 2-b 1 a 21a 11 a22a 12 a 211求解二元线性方程组3解因为D =21211224所以2,1214- 21三阶行列式定义 设有9个数排成3行3列的数表a11ai2ai3a21a22a 23F原则：
2、横行竖列1a31a32a 33引进记号主对角线副对角线a11ai2 zai3a21a22a23aa31a32a33aii a22a 33 ai2 a23 a31 a 13a21 a32_ai3a22a31 - ai2a2ia33- ai1 a 23 a 32称为三阶行列式三阶行列式的计算对角线法则二阶行列式的对角线法则并不适用!实线上的三个元素的乘积冠正虚线上的三个元素的乘积冠负一 aiia22a33ai2a23a31ai3a2ia32ai3a22a31ai2a2ia33ai1 a23a32注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式例2计算行列式1-2-3-4-21 2 ( 2) 2 1 ( 3
3、) ( 4) (2) 4解按对角线法则，有_1汽1汇4-2(2) ( 2) (2 ( 3)=- 4-6+32-4-8-24=-14.例3求解方程1 1 123x=0.49x 2解方程左端D = 3x2+4x+ 18- 9 x-2 x 2 _ 12D2=x - 5 x + 6 ,由 x 2 _ 5 x6-03.全排列及其逆序数n个不同元素的所有显然 ppn定义 把n个不同的元素排成一列，叫做这 n个元素的全排列 排列的种数，通常用 Pn表示.n (n 1) (n 2)|3 2 1二 n!即n个不同的元素一共有 n!种不同的排法.定义当某两个元素的先后次序与标准次序不同时,就称这两个元素组成一个逆
4、序例如 在排列32514中逆序逆序逆序p1前面，记为t1 ；P2前面，记为t2 .5Pntn刖面，记为七2十11|+ tn思考题：还能找到其它逆序吗？答：2和1, 3和1也构成逆序. 定义 排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数 计算排列的逆序数的方法设p1 p2 pn 是1,2,，“这n个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序先看 有多少个比 p1大的数排在再看有多少个比 P2大的数排在Pn最后看有多少个比大的数排在则此排列的逆序数为t二匕*求排列32514的逆序数.解:t (32514)练习：求排列453162的逆序数.解:n阶行列式的定义a 110000a 220000a 33000
5、0、 a 4a 11 a 22 a 33 a 44其中000*十 “a 1400/2300才a 32*00a 41000(一 1)t (4321)a 14 a 23 a 33 a 41(4321)=0 +1 + 2 +3a 11a 12a 13a140a 22a 23a2400a 33a34000a44a 11000a 21a 2200a 32a 32a 330a 41a 42a 43a 441122a 3344a 14a 23a 33a 41四个结论(1)对角行列式a 11 a 22a nnanna1 nn( n -1)(1) 2a 1 n a 2, n_1 II Ian1上三角形行列式(主
6、对角线下侧元素都为a 11a 12 a 1 n0-a 22a+a 2 n00a nn0)(主对角线上侧元素都为 o)F三角形行列式ii21a 22a 11 a 22a 11 a 22a nna nn对换在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换.aJIUi a d lllbmb Ci IIaJIUi b bi |bma cJ|CnaJIUi a b bj|bm例如D 二zPi P2 川 Pn(- i)t( Pi P2iH Pn )a Pi i a P2 2Illa Pn n定理3 n阶行列式也可定义为D =送(T)t(iii2Hlin ) + t(ji j2lH
7、 jn )aiijiai 2 j2lain jni1i2Jilinj1 j2 Hi jn例2用行列式的定义计算00IH0i000III200D n =IIIIIIHIIIIIIIIllin - i0III00000III00naJIUi b a bi 对换与排列奇偶性的关系定理i对换改变排列的奇偶性定理2 n阶行列式也可定义为1 a1, n_1a2, n_2lllan _1,1 a nnt 12| n2 III 21Dn行列式的性质a 11a 12IIIa 1 na 11a 21IIIa n 1a 21a 22IIIa 2 nf Ta 12a 22IIIa n 2V*,D =lVV*a n 1
8、a n 2IIIa nna 1 na 2 nIIIa n n行列式称为行列式的转置行列式.若记det( aij ),Dtdet(bij )a ji性质1行列式与它的转置行列式相等证明若记 D 二 det( a, ), D 丁 二 det( bij ) 则bj 二 aiji, j = 1, 2, I, n根据行列式的定义，有D T 二送(-1)t( Pi P2*)l Pn)b1 Pi P1b 2 P 2HtbnPnPiPHH Pn瓦(-1)t( Pi P2 | 舁 Pn)a P 1P 1 1a P2 2H 1 a P n nPiP2 川 PnD性质2互换行列式的两行(列)，行列式变号.备注：交换
9、第i行（列）和第j行（列），记作百张Cj）验证175175662= 196358二 196358662175175于是662= 358358662性质3行列式的某一行(列)中所有的兀素都乘以冋一个倍数k,等于用数k乘以此行列式备注：第i行（列）乘以k，记作j乂 k(Ci江k)验证我们以三阶行列式为例.记ana12a13a 11a 12a 13D =a21a22a23,D1 -ka 21ka 22k a 23a31a32a33a31a 32a 33根据三阶行列式的对角线法则，有a12D1ka?1ka?2ka23a32a 11 (k a 22)a33a12 ( ka 23 )a31a13 ( ka
10、 21 )a 32a13 ( ka22 )a 31ai2 (ka2i )a33一 a11 ( ka23 )a32k a11a22a33l a13 a22a31a12a23a31a 13 a21 a32a12a21 a33a 11 a 23 a 32kD推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.性质4行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零.验证我们以4阶行列式为例.a11a12a13a14a11a12a13a14a21a22a23a24=ka21a22a23a24a31a32a33a34a31a32a33a34ka11ka12ka13ka14a11a12a13a14若行列式的某一列的兀素都是两数之和(行)性质5 例
