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1、第1章 函数与极限1.用区间表达函数的自然定义域.解：应，得，得.3.已知,求的表达式.解法1：因为，所以.解法2：令，则，代入式，得，即得.5.的充分必要条件是.6. 1 , 1 ,在处的极限情况为 不存在 .解：在极限中，此时，所以，在极限中，此时，所以，因为的充分必要条件是，所以，在处的极限不存在.1.若存在,则 B .A.有界; B.在内有界; C.在任一内有界; D.以上结论都不对.解：A选项不正确：因为函数极限存在时具有局部有界性，即保证函数在取极限的附近有界，在定点的情形，则是保证函数在的去心邻域内有界；B 选项正确：即函数极限的局部有界性；C选项不正确：应该是在某一去心邻域内有
2、界.2.设,当时,观察的变化趋势,可得 C . A.0; B.; C.; D.解：，当时，从而，故.1.以下判断正确的是 D .A.是无穷大量; B.是无穷小量; C.若当时,是无穷小量,则是无穷大量;D.若,则当时,是无穷小量.解：A、B选项都不正确：因为无穷大量及无穷小量都是针对自变量的一个变化过程而言的，但是A、B选项都没有给出自变量的变化过程.对于A选项，例如，因而是当时的无穷大量；又有，因而当时不是无穷大量. 对于B选项，例如，因而是当时的无穷小量；又有，因而当时不是无穷小量，而是无穷大量.C选项不正确：这是因为，如果，那么对于自变量的任何变化过程而言都是无穷小量(当时亦然)，但是式
3、无意义.D选项正确：根据无穷小与函数极限的关系定理：在自变量的同一变化过程()中,函数具有极限的充分必要条件是,其中是无穷小.2.试说明函数在上无界,并说明不是时的无穷大量.解：先说明函数在上无界：因为对,在上总能找到这样的,使得.例如,当充分大时,就有.再说明函数不是时的无穷大量：因为对,找不到这样的时刻,使得对于一切大于的,都有.例如,对于任意大的,当充分大时,总有,但.1.的理由是 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 .2.解：因为，所以所求极限.3.解：所求极限是有理分式函数当时的极限，并且分子、分母多项式的次数(的最高次)相同(均为50次)，则知极限值应为分子、分母的最高次的系数之比.因
4、分子的最高次的系数是,分母的最高次的系数是,所以所求极限值是.4.已知,则 7 , 6 .解：因为当时,分母的极限为0,而分子是多项式, 故当时,分子的极限必存在,又已知是有限值,所以分子的极限应为0,即,得.此时,得,.1.若、均发散,则下列判断正确的是 D .A.一定发散; B.一定发散; C.一定发散; D.以上结论都不对.解：A、B、C选项都不正确，则D选项正确：举例如，及均发散，但收敛.又例如，及均发散，但、及均收敛.2.若收敛,发散,则下列判断正确的是 A .A.一定发散; B.一定发散; C.一定发散; D.以上结论都不对.解：A选项正确(则D选项不正确)，证明如下：设，则，用反
5、证法，如果收敛，则根据两函数和差的极限运算法则，有，即收敛，此与发散矛盾，故一定发散. 证毕.B、C选项都不正确：举例如收敛，发散，成立收敛.5.; 解：.6.; 解： .7.; 解：.8.解：.1. 解：.2. 1 . 解：3. 解：.4. 解：.或.5.若,则 6 .解：，得.6.要使函数是无穷大,则要求趋于值.解：函数的定义域为.因为对任意点，根据两函数商的极限运算法则，必有是有限值，所以，使函数是无穷大的点只可能是不属于其定义域的点，即.将这样的点分为3类，来求函数在该点处的极限：，求得，所以；而；所以为所求.2. C . A.0; B.1; C.不存在; D.解：因为，左、右极限存在
6、但不相等，所以该极限不存在，C选项正确.1.;解：.2.; 解：.3.; 解： .4.; 解：.四利用极限存在准则证明：1.证明 因为,又,而,由夹逼准则,得. 证毕.1.当时,与等价的无穷小有.解：根据等价无穷小的定义，只需逐一验证，.2.设,则,.解：根据等价无穷小的定义，只需验证，：成立.成立(用到因式分解公式).(其中极限用到了习题1-6中题4(4)的结果及第五节中定理3的推论2)3.当时,与相比,哪一个是高阶无穷小?.解：根据高阶无穷小的定义，因为，所以，分子是比分母高阶的无穷小.4.当时,无穷小和是否同阶? 同阶 ,是否等价? 不等价 .解：因为，所以无穷小和是同阶无穷小，但不是等
7、价无穷小.1.当时,下列哪一个无穷小是关于的三阶无穷小 B .A.; B. (为正常数); C.; D.解：根据阶无穷小的定义，A选项不正确：因为.B选项正确：因为.C选项不正确：因为.C选项不正确：因为.三利用等价无穷小的性质求下列极限：1. (为正整数);解：(为正整数).2.; 解：.3.; 解：.4.解：(利用2题结果或方法).1.设则是的 A .A.可去间断点; B.跳跃间断点; C.无穷间断点; D.振荡间断点.解：根据间断点的分类，考察：，由于即左右极限存在且相等，所以极限存在，因而是的可去间断点.故A选项正确，B、C、D选项不正确.2.设,则是的 B . A.可去间断点; B.
8、跳跃间断点; C.无穷间断点; D.振荡间断点.解：根据间断点的分类，考察：，由于左右极限存在但不相等，所以是的跳跃间断点.故B选项正确，A、C、D选项不正确.3.设,则是的 B . A.可去间断点; B.跳跃间断点; C.无穷间断点; D.振荡间断点.解：注意到，.根据间断点的分类，考察：,，由于左右极限存在但不相等，所以是的跳跃间断点.故B选项正确，A、C、D选项不正确.1.下列函数在指出的点处间断,说明这些间断点属于哪一类.如果是可去间断点,则补充或改变函数的定义使它连续:(1);解：为第一类(可去)间断点.补充定义则函数在处连续.为第二类(无穷)间断点.(2) ();解： 为可去间断点
9、.补充定义则函数在处连续.为可去间断点.补充定义则函数在处连续.为第二类(无穷)间断点.(3). 解：因为(或)不存在，所以为第二类间断点(且为振荡间断点).1.函数的连续区间为,极限,.解：在此是有理分式函数，根据有理分式函数在其定义区域内的每一点都是连续的，又此函数定义区域为，可知的连续区间即的定义域为.又根据函数间断点的概念，可知函数没有定义的点是其间断点.因为是连续点，所以极限；而在间断点处，极限；极限.4.设函数若要使成为在上连续的函数,应当选择 1 .解：若要使在上连续，那么必在其分段点处连续，即成立，则必有.而，故，此时.二求下列极限：3.; 解：.4.; 解：.5. 解：.三求
10、下列极限：1.; 解：.2.; 解：.3. 解：.一证明题1.证明方程至少有一个根介于1和2之间.证明 设，对在闭区间1,2上用零点定理： 因为在闭区间1,2上连续，并且，所以由零点定理可得，至少存在一点使，即，亦即方程至少有一个根介于1和2之间. 证毕.2.证明方程,其中,至少有一个正根,并且它不超过.证明 思路如下：先构造辅助函数，则方程的根的问题即转化为函数的零点的问题；然后判断在某闭区间上连续且在端点处的函数值异号，于是根据闭区间上连续函数的零点定理即可断定的零点亦即方程根的存在性；本题欲证方程的根为正根，并且它不超过，故在闭区间上进行考察.令，则,，以下分两种情况讨论：当，则就是函数
11、的零点，也就是方程的一个根，此根，取到区间的右端点；当，因为在()上连续, 从而在上连续，并且，于是根据闭区间上连续函数的零点定理可得，在开区间内至少存在一点，使，即是方程的一个根，此根.由即得，方程在内至少有一个根. 证毕.4.若在的某个邻域内,且,则与的关系是.解：根据函数极限的性质定理：如果，而，那么.(第五节定理5)5.设处处连续,且,则 15 .解：注意到处处连续，则.2.设,则当时,以下四个结论中正确的结论是 B .A.与是等价无穷小; B.与同阶但非等价无穷小;C.是比高阶的无穷小; D.是比低阶的无穷小.解：根据无穷小比较的定义，因为，由知A选项不正确，由知B选项正确且C选项不
12、正确，由非知D选项不正确.三求下列极限：1.解：.2.解： .3. 解：.4. 解：.5. 解：.6. 解：.7.解：，所以原式.8. 解：.9.解：，所以原式.10.解：.11.解：.12. 解：2.设函数应当怎样选择数,使得在处连续.解：应有,而,所以.3.设函数求的间断点,并说明间断点所属类型.解：因为函数在处无定义(在有定义),所以是的一个间断点. , , 是第二类间断点. 在分段点处, 也是的间断点,且是第一类间断点.五证明题2.设函数在闭区间上连续,且,证明:在内至少存在一点,使.证明 设,对在闭区间上用零点定理:由在闭区间上连续,可得在闭区间上连续,并且,故由零点定理得,在内至少
13、存在一点,使,即. 证毕.3.设函数在内连续,且.证明:存在的邻域,使当属于该邻域时,.证明 设,则,由极限的局部保号性知,存在,使当时,有.取,则当时,有,即.证毕.office, branch offices (jurisdiction), risk management, marketing management sector through supervision and inspection found problems, should be assigned the investigators are corrected in a timely manner. 27th the f
14、ifth chapter penalty under any of the following acts, then the relevant provisions to punish the investigators, according to the Bank. To constitute a crime shall be investigated for criminal responsibility: (A) on the business that are not involved in the investigation, issued a survey. (B) customer credit information are not
