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1、南昌大学第七届高等数学竞赛（07、08级数学专业类）试卷答案 序号： 姓名： _ 学院: 专业： 学号： 考试日期： 2010年10月题号一二三四五六七八九总分累分人 签名题分30999999 8 8 100得分考生注意事项：1、本试卷共 5 页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。 2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。一、 填空题(每空 3 分，共 30分) 1、=0；2、函数不可导点的个数是1；3、=；4、的收敛区域为， ）；5、设，则；6、函数在处的泰勒级数为；7、设，则= ；8、若 （） ，则= ； 9、交换二次积分的次序为； 10、存在的充要条
2、件是，,当，时，有。二、证明：函数在上不一致连续.证明：对， ，但是有 所以，函数在上不一致连续.三、设函数在上有定义且在每一点处函数的极限存在，求证：在上有界.证明：，设在处的极限为，则，有，从而。由为的开覆盖及有限覆盖定理得，存在有限个小开区间也是的开覆盖。记M为，中的最大数，则有，有，使得，于是四、设在上可导，且，试证：存在(0, ),使得. 令 所以在(0, )达到最大值，故存在(0, ),使得即五、已知曲线积分，其中是常数，有连续一阶导数，是绕(0，0)点一周的任一分段光滑简单闭曲线.试求及. 如图所示，设C是不包含原点在内的任一分段光滑的简单闭曲线，在C上任意取定两点A，B,作围绕原点的闭曲线AKBNA,同时得到另一绕原点的闭曲线AKBMA，由题设条件知即 从而有 ， 则 ,由知，为了计算,取为单位圆周，则六、设在上可微，且，M是的上界，则M.由拉格朗日定理及，知存在c=于是，M七、设在上有连续偏导数，且 （1）若 求（2）若 求. （1）两端关于求导，得 当时，=，又在上有连续偏导数，所以= （2）由，知 又由，得 所以八、设，绝对收敛，则应用积分中值公式，有 = 由在处连续可知，任意，存在,使得 （）从而 （） 结论对证。九、求级数的和. 作幂级数 ，该级数在收敛令 第 1 页 共 5页
