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1、 骆新宇 、新高一 、一对一 、徐林 新高一 第六讲 函数的单调性教学目标：1、理解函数单调性，能判断和证明函数在给定区间上的单调性；了解函数单调区间的概念，并能根据图象说出函数的单调区间；2、体会从特殊到一般,从具体到抽象,从感性到理性的数学思维方法.教学重点难点：函数单调性的概念和判断；利用函数单调性的定义判断函数的单调性。教学过程：（一）创设情境：例如:某市某天的气温变化曲线图：问题：随着时间的变化，温度的变化趋势是？（上升？下降？）事实上，在生活中，有很多数据的变化是有规律的，了解这些数据的变化规律，对我们的生活很有帮助。观察满足函数关系的数据变化规律往往是看：随着自变量的变化，函数值
2、是如何变化的，这就是我们今天要研究的函数的单调性。 （二）建构定义:1、直观感知定义：观察下列函数的图象,由学生讨论交流并回答下列问题（几何画板动态展示） x2-10oxy-1114y11-2问题1:这两个函数图象有怎样的变化趋势？（上升？下降？）问题2:函数在区间内y随x的增大而增大，在区间内y随x的增大而减小；总结到一般情况下：在区间D内在区间D内图象图象特征从左到右，图象上升从左到右，图象下降数量特征y随x的增大而增大y随x的增大而减小直观性定义单调递增函数单调递减函数说明直观性定义：称左边的函数在区间D上单调递增函数，右边的函数则称为区间I上单调递减函数。由表知：图象在区间D内呈上升趋
3、势 当x的值增大时，函数值y也增大 区间内有两个点、，当时，有问题：若区间内有两点时，有，能否推出是单调递：增函数？构造反例:，。构造反例，动画演示，引导学生对自变量取值的“任意性”的深刻理解。2、归纳定义定义：一般地，设函数的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间上是单调递增函数。由学生类比得到减函数的定义：如果对于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间上是单调递减函数。注:(1) 三大特征：属于同一区间；任意性；有大小：通常规定；(2) 相对于定义域，函数的单调性可以是函数的局部性质。 举例：在上是单调
4、增函数，但在整个定义域上不是增（减）函数。(三)定义应用:例1、下图是定义在5，5上的函数的图象，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，是增函数还是减函数。2-4215431-1-2-1-5-3-23xo解：的单调区间有5，2），2，1），1，3），3，5。其中在5，2）,1，3）上是减函数；在2，1）， 3，5）上是增函数。强调单调区间的写法：问题1：减区间可否写成5，2）U1，3）？问题2：写成5，2）还是写成5，2？ 构造反例说明,进行验证.（1）单调区间一般不能求并集；（2）当端点满足单调性定义时，可开可闭。函数单调性的证明，必须从定义出发去证明 例2、试判断函数 在区间（
5、0，）上是增函数还是减函数？并给予证明。分析：问1：除了图象法判定函数单调性还有什么方法？ 2：如何用定义法判定函数单调性？ 3：用定义判定函数单调性的关键是什么？ （作差比较法）例如：证明：函数 在（0，）上是增函数取值证明 设 是(0,)上的任意两个值,且，作差变形则定号又，故，则，即：下结论因此，函数 在（0，）上是增函数。总结定义法证明函数单调性的步骤：1、取值:设任意属于给定区间，且；2、作差变形:变形的常用方法:因式分解、配方、有理化等；3、定号:确定的正负号；4、下结论:由定义得出函数的单调性。思考题：在上面证明中，你能理解的任意性的意义吗？解答：有了“任意性”在区间内不管取哪两
6、个值，其证明过程都是一样的。四、课堂练习：一1、下列函数，在区间（0，+）上为增函数的是_y=3-2x y=x2-1 y= y=-|x|2、 函数y=4x2-mx+5在区间上是增函数，在区间上是减函数，则m的值为_;3、 根据图象写出函数y=f(x)的单调区间：增区间 ；减区间： y-3 0 -1 3 x4、函数f(x)=ax2-(5a-2)x-4在上是增函数, 则a的取值范围是_5、根据函数f(x)=-x2+|x|的图象得出单调区间为_6、判断函数f(x)=-x3+1在（-，+）上的单调性；7、判断函数在在、上的单调性8、函数是单调函数，求的范围。二1、设f(x)=(2a-1)x+b在R上是
7、减函数，则a的取值范围是_2、已知，则f(x)的最小值是_3、已知f(x)=x2+2x+3,x-1,0，则f(x)的最大值和最小值分别是_和_4、设函数f(x)在R上为减函数，则下列正确的是_ 5、函数y=xx-2的单调递增区间为_;6、函数f(x)是定义在（-1，1）上的增函数，且f(a-2)-f(3-a)0, 那么a的取值范围为_;7、设二次函数f(x)=x2-(2a+1)x+3（1） 若函数f(x)的单调增区间为，求实数a的值；（2） 若函数f(x)在区间内是增函数，求a的范围；8、设函数对于任意都有且时。（1）求；（2）试问在时是否有最大、最小值？如果有，请求出来，如果没有，说明理由；
8、（一）答案6、解：设x1,x2是R上任意两个值，且x1x2则f(x1)-f(x2)=-x13+1-(-x23+1)=x23-x13=(x2-x1)(x22+x1x2+x12)=(x2-x1)(x22+x1/2)2+3/4x12)x1,x2是R上任意两个值，且x10,(x22+x1/2)2+3/4x12)0f(x1)f(x2)y=f(x)是R上的减函数7、设0x1x2y1-y2=(x1+4/x1)-(x2+4/x2)=(x1-x2)+(4/x1-4/x2)=(x1-x2)+4(x2-x1)/(x1x2)=(x1-x2)1-(4/(x1x2)1、假如0x1x22，则0x1x21，1-4/(x1x2)0x1-x20，y1y2，函数单调递减2、假如2x14，4/(x1x2)0又x1-x20所以y1-y20，y1y2，函数单调递增所以函数在(0,2)内单调递减；在2,+)内单调递增（二）8、解：（1）令x=y=0，（2）可证，y=f(x)是减函数,从而有最大值和最小值， 第 1 页 共 7 页 教研主任签字：
