《人教版数学高一B版必修4示范教案向量数量积的坐标运算与度量公式》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教版数学高一B版必修4示范教案向量数量积的坐标运算与度量公式（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高中数学-打印版示范教案整体设计教学分析这一节，主要是把数量积运算完全坐标化向量的数量积，教材将其分为三部分在第 一部分向量的数量积中，首先研究平面向量所成的角，其次，介绍了向量数量积的定义，最 后研究了向量数量积的基本运算法则和基本结论；在第二部分中专门探究了数量积满足的运 算律，在第三部分平面向量数量积的坐标表示中，在平面向量数量积的坐标表示的基础上， 利用数量积的坐标表示研讨了平面向量所成角的计算方式，得到了两向量垂直的判定方法， 本节是向量数量积的第三部分前面我们学习了平面向量的数量积，以及平面向量的坐标表示一方面在有了平面向量 的坐标表示以及坐标运算的经验和引进平面向量的数量积后，就
2、顺其自然地要考虑到平面向 量的数量积是否也能用坐标表示的问题另一方面，由于平面向量数量积涉及了向量的模、 夹角，因此在实现向量数量积的坐标表示后，向量的模、夹角也都可以与向量的坐标联系起 来利用平面向量的坐标表示和坐标运算，结合平面向量与平面向量数量积的关系来推导出 平面向量数量积以及向量的模、夹角的坐标表示教师应在坐标基底向量的数量积的基础上，推导向量数量积的坐标表示通过例题分析、 课堂训练，让学生总结归纳出对于向量的坐标、数量积、向量所成角及模等几个因素，知道 其中一些因素，求出其他因素基本题型的求解方法平面向量数量积的坐标表示是在学生学 习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积的基础上进一
3、步学习的，这都为数量积的坐标表 示奠定了知识和方法基础三维目标1通过探究平面向量的数量积的坐标运算，掌握两个向量数量积的坐标表示方法 2掌握两个向量垂直的坐标条件以及能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题3通过平面向量数量积的坐标表示，进一步加深学生对平面向量数量积的认识，提高 学生的运算速度，培养学生的运算能力，培养学生的创新能力，提高学生的数学素质重点难点教学重点：平面向量数量积的坐标表示教学难点：向量数量积的坐标表示的应用课时安排1 课时教学过程导入新课思路 1.平面向量的表示方法有几何法和坐标法，向量的表示形式不同，对其运算的表示 方式也会改变向量的坐标表示
4、，为我们解决有关向量的加、减、数乘运算带来了极大的方 便上一节，我们学习了平面向量的数量积，那么向量的坐标表示，对平面向量的数量积的 表示方式又会带来哪些变化呢？由此直接进入主题思路 2.在平面直角坐标系中，平面向量可以用有序实数对来表示，两个平面向量共线的 条件也可以用坐标运算的形式刻画出来，那么学习了平面向量的数量积之后，它能否用坐标 来表示？若能，如何通过坐标来实现呢？平面向量的数量积还会是一个有序实数对吗？同 时，平面向量的模、夹角又该如何用坐标来表示呢？通过回顾两个向量的数量积的定义和向 量的坐标表示，引导学生推导、探索平面向量数量积的坐标表示推进新课精心校对1 12 21 21 2
5、1 21 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 21 1 2 21 2 2 11 1 2 21 1 2 2高中数学-打印版新知探究提出问题(1)平面向量的数量积能否用坐标表示？(2)已知两个非零向量a(x，y )，b(x，y )，怎样用a与b的坐标表示ab呢？(3)怎样用向量的坐标表示两个平面向量垂直的条件？(4)你能否根据所学知识推导出向量的长度、距离和夹角公式？活动：教师引导学生利用前面所学知识对问题进行推导和探究前面学习了向量的坐标可以用平面直角坐标系中的有序实数对来表示，而且我们也知道了向量的加、减以及实数与向量积的线性运算都可以用坐标
6、来表示两个向量共线时它们对应的坐标也具备某种关系，那么我们就自然而然地想到既然向量具有数量积的运算关系，这种运算关系能否用向量的坐 标来表示呢？教师与学生一起探究如下：(1)向量内积的坐标运算建立正交基底e ，e 已知 a(a ，a )，b(b ，b )，则ab(a e a e )(b e b e )a b e e a b e e a b e e a b e e .因为 e e e e 1，e e e e 0，所以我们得到数量积的坐标表达式aba b a b .实际上，a b a b 表示两个向量的数量积，只与长度和角度有关，与坐标系的选择无关，它是解析几何中一个重要的不变量在度量几何中有着重
7、要应用这样，遇到几何中的度量问题，就可通过建立坐标系，用代数方法来处理教学时引导学生自己推导数量积的坐 标表达式(2)用向量的坐标表示两个向量垂直的条件如果 ab，则 ab0；反之，如果 ab0，则 ab.上述两个向量垂直的条件，换用两向量的数量积坐标表示，即为：如果 ab，则 a1b1a2b20；精心校对1 1 2 2 1 1 2 22 21 1 21 12 22 2 11 21 21 2 1 2 1 21 21 12 22 1 2 12 12 1高中数学-打印版如果 a b a b 0，则 ab.因此ab a b a b 0.有了这个条件，就可以通过计算数量积处理相关的垂直问题引导学生写出
8、向量 (a1a )垂直的向量坐标形式，即：，当 ba ab 0 时，条件 a b a b 0，可以写成b b1k.这就是说，如果 ab，则向量(a1，a2)与(b2，b1)平行，上式中的 k 是比例系数于是 得到：对任意实数 k，向量 k(b，b )与向量(b ，b )垂直(3)向量的长度、距离和夹角公式引导学生自己推导公式如图 1，已知 a(a ，a )，则|a|2aa(a ，a )(a ，a )a2a2.图 1因此 |a| a2a2.这就是根据向量的坐标求向量长度的计算公式 这个公式用语言可以表述为：向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根如果 A(x ，y )，B(x ，y )，则AB(
9、x x ，y y )， 从而|AB| (xx )2(yy )2.AB的长就是 A，B 两点之间的距离，因此式也就是求两点的距离公式这与我们在 解析几何初步中得到的两点距离公式完全一样精心校对1 1 2 21 2 1 2高中数学-打印版由向量数量积的坐标表达式和向量长度计算公式，以及向量数量积的定义，就可以直接 推得求两个向量夹角余弦的坐标表达式cosa，ba b a b a2 a2 b2b2.讨论结果：略应用示例思路 1例 1 已知 a(3，1)，b(1，2)，求 ab，|a|，|b|，a，b活动：本例直接应用公式运算，可由学生自己完成解：ab(3，1)(1，2)325；|a| aa (3，1
10、)(3，1) 10；|b| bb (1，2)(1，2) 5；ab 5 2因为 cosa，b ，|a|b| 10 5 2所以a，b .4例 2 已知 A(1,2)，B(2,3)，C(2,5)，试判断ABC 的形状，并给出证明活动：教师引导学生利用向量数量积的坐标运算来解决平面图形的形状问题判断平面图形的形状，特别是三角形的形状时主要看边长是否相等，角是否为直角可先作出草图，进行直观判定，再去证明在证明中若平面图形中有两个边所在的向量共线或者模相等，则此平面图形与平行四边形有关；若三角形的两条边所在的向量模相等或者由两边所在向量的数量积为零，则此三角形为等腰三角形或者为直角三角形教师可以让学生多总
11、结几种判断 平面图形形状的方法解：在平面直角坐标系中标出 A(1,2)，B(2,3)，C(2,5)三点，我们发现ABC 是直角 三角形下面给出证明AB(21,32)(1,1)，AC(21,52)(3,3)， ABAC1(3)130. ABAC.ABC 是直角三角形.变式训练 在ABC 中，AB(2,3)，AC(1，k)，且ABC 的一个内角为直角，求 k 的值精心校对1 12 21 2 1 21 12 2ab1 21 21 12 2|AB|AC|高中数学-打印版解：由于题设中未指明哪一个角为直角，故需分别讨论 若A90，则ABAC，所以ABAC0.2于是 213k0.故 k .311同理可求，
12、若B90时，k 的值为 ；33 13若C90时，k 的值为 .22 11 3 13故所求 k 的值为 或 或 .3 3 2例 3(1)已知三点 A(2，2)，B(5,1)，C(1,4)，求BAC 的余弦值；(2)若 a(3,0)，b(5,5)，求 a 与 b 的夹角活动：教师让学生利用向量的坐标运算求出两向量 a(x ，y )与 b(x ，y )的数量积 abx x y y 和模 |a|x2 y2，|b|x2 y2的积，其比值就是这两个向量夹角的余弦值，即 cos |a|b|x x y yx2y2 x2y2.当求出两向量夹角的余弦值后再求两向量的夹角大小时，需注意两向量夹角的范围是 0.学生在
13、解这方面的题目时需要把向量的坐标表示清楚， 以免出现不必要的错误 解：(1)AB(5,1)(2，2)(3,3)，AC(1,4)(2，2)(1,6)， ABAC3(1)3615. 又|AB| 32323 2，|AC| (1)262 37， ABAC 15 5 74cosBAC . 3 2 37 74(2)ab3(5)0515，|a|3，|b|5 2.ab 15 2 3设 a 与 b 的夹角为 ，则 cos .又0， .|a|b| 35 2 2 4变式训练 1 若点 P 分有向线段AB所成的比为 ，则点 B 分有向线段PA所成的比是( )33 1 1A B C. D32 2 2答案：A精心校对1 2 1 21 2
