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1、培优点三 含导函数的抽象函数的构造一、含导函数的抽象函数的构造例1：已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，则不等式的解集为_【答案】【解析】设，则，所以函数是上的减函数，函数是偶函数，函数，函数关于对称，原不等式等价为，不等式等价，在上单调递减，故答案为例2：已知，曲线在处的切线方程为（1）求，的值；（2）求在上的最大值；（3）证明：当时，【答案】（1），；（2）；（3）证明见解析【解析】（1），由题设得，解得，（2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，所以，所以在上单调递增，所以（3）因为，又由（2）知，过点，且在处的切线方程为，故可猜测：当，时，的图象恒在切线的上方下证：
2、当时，设，则，由（2）知，在上单调递减，在上单调递增，又，所以，存在，使得，所以，当时，；当时，故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，又，当且仅当时取等号，故，由（2）知，即，所以，即成立，当时，等号成立对点增分集训一、选择题1设函数在定义域内可导，的图像如图所示，则导函数的图像可能为（）ABCD【答案】D【解析】由函数的图象可知，当时，单调递减，所以时，符合条件的只有D选项，故选D2曲线在点处的切线与轴交点的纵坐标是（）ABCD【答案】C【解析】，则，曲线在点处的切线方程为，令，解得曲线在点处的切线与轴交点的纵坐标是，故选C3已知函数的导函数为，且满足，则（）ABCD【答案】D【解析】
3、依题意，令，得，所以，所以，故选D4曲线在点处的切线方程是（）ABCD【答案】C【解析】求导，则曲线，在点处的切线的斜率，由点斜式可得，即切线方程为，故选C5函数的极小值点是（）ABCD【答案】A【解析】，由，得或函数在上为增函数，上为减函数，上为增函数，故在处有极小值，极小值点为故选A6函数在处有极值,则的值为（）ABCD【答案】C【解析】由题意得：，在处有极值，解得经检验满足题意，本题正确选项C7若函数，则函数的单调递减区间为（）ABCD【答案】C【解析】函数的定义域为，因为，令并且，得，所以函数的单调递减区间为故本题正确答案为C8己知，为导数，则（）ABCD【答案】A【解析】，故本题选A
4、9函数的导数为（）ABCD【答案】A【解析】，故选A10已知函数在点处的切线经过原点，则实数（）ABCD【答案】D【解析】函数，切线方程为，故，解故选D11设函数，则（）A为的极大值点B为的极小值点C为的极大值点D为的极小值点【答案】D【解析】函数，则函数，令，解得，当，解得，函数在单调递增；由，解得，函数在上单调递减函数在取得极小值，故选D12若在区间上单调递减，则的取值范围为（）ABCD【答案】A【解析】令，则，配方得，故对称轴为，如图所示：由图象可知，当对称轴时，在区间上单调递减，又真数，二次函数在上单调递减，故只需当时，若，则时，真数，代入，解得，所以的取值范围是故选A二、填空题13已
5、知，则_【答案】【解析】，令，则，故故填14曲线在点处的切线方程为_【答案】【解析】因为，所以，又切点为，所以在点处的切线方程为15如图，函数的图象在点处的切线方程是，则_【答案】【解析】由题意可知，故三、解答题16已知函数（1）求函数在点处的切线方程；（2）若，求的最大值【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，所以，因为，所以，切线方程为，即（2）令，得或，由，所以，因为，所以的最大值为17已知函数在上是奇函数，且在处取得极小值（1）求的解析式；（2）求过点且与曲线相切的切线方程【答案】（1）；（2）【解析】（1）是定义在上的奇函数，则，解得（2）设切点坐标为，则在处切线斜率，又，解得，过
6、的切线方程为，即18设函数在时取得极值（1）求的值；（2）求函数的单调区间【答案】（1）；（2）的单调递增区间为，；单调递减区间为【解析】（1），当时取得极值，则，即，解得，经检验，符合题意（2）由（1）得：，令，解得或；令，解得，的单调递增区间为，；单调递减区间为19已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直（1）求函数的单调区间；（2）求的解集【答案】（1）在为增函数；（2）【解析】（1），曲线在点处的切线与直线垂直，令，当时，为增函数；当时，为减函数，所以，所以，所以在为增函数（2），令，因为在为增函数，所以在为增函数，因为，所以不等式的解集为20函数，（1）当时，求的极值；（2）当时，恒成立，求实数的最大值【答案】（1）极小值为，无极大值；（2）【解析】（1）时，则，令，解得当时，单调递减；当时，单调递增，极小值为，无极大值（2）当时，由，得，令，则，令，解得，当时，单调递减；当时，单调递增，实数的最大值为1
