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1、函数与导数专题 1.在解题中常用的有关结论（需要熟记）：(1)曲线在处的切线的斜率等于，切线方程为(2)若可导函数在 处取得极值，则。反之，不成立。(3)对于可导函数，不等式的解集决定函数的递增（减）区间。(4)函数在区间I上递增（减）的充要条件是：恒成立(5)函数在区间I上不单调等价于在区间I上有极值，则可等价转化为方程在区间I上有实根且为非二重根。（若为二次函数且I=R，则有）。(6) 在区间I上无极值等价于在区间在上是单调函数，进而得到或在I上恒成立(7)若，恒成立，则; 若，恒成立，则(8)若，使得，则；若，使得，则.(9)设与的定义域的交集为D若D 恒成立则有(10)若对、 ，恒成立
2、，则.若对，使得,则. 若对，使得，则.（11）已知在区间上的值域为A,，在区间上值域为B，若对,，使得=成立，则。(12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程有两个不等实根，且极大值大于0，极小值小于0.(13)证题中常用的不等式: 考点一：导数几何意义：角度一求切线方程1(2014洛阳统考)已知函数f(x)3xcos 2xsin 2x，af，f(x)是f(x)的导函数，则过曲线yx3上一点P(a，b)的切线方程为()A3xy20B4x3y10C3xy20或3x4y10D3xy20或4x3y10解析：选A由f(x)3xcos 2xsin 2x得f(x)32sin 2x2cos 2x，则af3
3、2sin2cos1.由yx3得y3x2，过曲线yx3上一点P(a，b)的切线的斜率k3a23123.又ba3，则b1，所以切点P的坐标为(1,1)，故过曲线yx3上的点P的切线方程为y13(x1)，即3xy20.角度二求切点坐标2(2013辽宁五校第二次联考)曲线y3ln xx2在点P0处的切线方程为4xy10，则点P0的坐标是()A(0,1)B(1，1)C(1,3) D(1,0)解析：选C由题意知y14，解得x1，此时41y10，解得y3，点P0的坐标是(1,3)角度三求参数的值3已知f(x)ln x，g(x)x2mx(m0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图像都相切，且与f(x)图像的切
4、点为(1，f(1)，则m等于()A1 B3C4 D2解析：选Df(x)，直线l的斜率为kf(1)1，又f(1)0，切线l的方程为yx1.g(x)xm，设直线l与g(x)的图像的切点为(x0，y0)，则有x0m1，y0x01，y0xmx0，m0，当x(ln 2，)时，g(x)0.f(x)maxg(x)maxg(ln 2)2ln 220，f(x)0，x10得，x；由F(x)0得，x0)，f(x)x5.令f(x)0，解得x12，x23.当0x3时，f(x)0，故f(x)在(0,2)，(3，)上为增函数；当2x3时，f(x)0，x1.当0x0；当x1时，f(x)0，f(x)在区间(1，)上为增函数，不
5、合题意当a0时，f(x)0(x0)等价于(2ax1)(ax1)0(x0)，即x，此时f(x)的单调递减区间为.由得a1.当a0)等价于(2ax1)(ax1)0(x0)，即x，此时f(x)的单调递减区间为.由得a.综上，实数a的取值范围是1，)针对训练(2014荆州质检)设函数f(x)x3x2bxc，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y1.(1)求b，c的值；(2)若a0，求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x)f(x)2x，且g(x)在区间(2，1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围解：(1)f(x)x2axb，由题意得即(2)由(1)得，f(x)x2axx(xa)(a0
6、)，当x(，0)时，f(x)0，当x(0，a)时，f(x)0.所以函数f(x)的单调递增区间为(，0)，(a，)，单调递减区间为(0，a)(3)g(x)x2ax2，依题意，存在x(2，1)，使不等式g(x)x2ax20成立，即x(2，1)时，a0，f(x)为(，)上的增函数，所以函数f(x)无极值当a0时，令f(x)0，得exa，即xln a.x(，ln a)，f(x)0，所以f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增，故f(x)在xln a处取得极小值，且极小值为f(ln a)ln a，无极大值综上，当a 0时，函数f(x)无极值；当a0时，f(x)在xln a处取得极小
7、值ln a，无极大值针对训练设f(x)2x3ax2bx1的导数为f(x)，若函数yf(x)的图像关于直线x对称，且f(1)0.(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)的极值解：(1)因为f(x)2x3ax2bx1，故f(x)6x22axb，从而f(x)62b，即yf(x)关于直线x对称从而由题设条件知，即a3.又由于f(1)0，即62ab0，得b12.(2)由(1)知f(x)2x33x212x1，所以f(x)6x26x126(x1)(x2)，令f(x)0，即6(x1)(x2)0，解得x2或x1，当x(，2)时，f(x)0，即f(x)在(，2)上单调递增；当x(2,1)时，f(x)0，即f(
8、x)在(1，)上单调递增从而函数f(x)在x2处取得极大值f(2)21，在x1处取得极小值f(1)6.考点五 运用导数解决函数的最值问题 典例已知函数f(x)ln xax(aR)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a0时，求函数f(x)在1,2上的最小值解(1)f(x)a(x0)，当a0时，f(x)a0，即函数f(x)的单调增区间为(0，)当a0时，令f(x)a0，可得x，当0x0；当x时，f(x)0，故函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)当1，即a1时，函数f(x)在区间1,2上是减函数，f(x)的最小值是f(2)ln 22a.当2，即0a时，函数f(x)在区间1,2上是增函数，f(x)的最小值是f(1)a.当12，即a1时，函数f(x)在上是增函数，在上是减函数又f(2)f(1)ln 2a，当aln 2时，最小值是f(1)a；当ln 2a1时，最小值为f(2)ln 22a.综上可知，当0a0)，若函数f(x)在x1处与直线y相切， (
