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1、42指数函数42.1指数函数的概念学习目标1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性.2.了解指数增长型和指数衰减型在实际问题中的应用知识点一指数函数的定义一般地，函数yax(a0，且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.思考为什么底数应满足a0且a1?答案当a0时，ax可能无意义；当a0时，x可以取任何实数；当a1时，ax1 (xR)，无研究价值因此规定yax中a0，且a1.知识点二两类指数模型1ykax(k0)，当a1时为指数增长型函数模型2ykax(k0)，当0a0)是指数函数()2yax2(a0且a1)是指数函数()3yx是指数衰减型函数模型()4若f(x)a
2、x为指数函数，则a1.()一、指数函数的概念例1(1)下列函数中是指数函数的是_(填序号)y2()x；y2x1；yx；(2)若函数y(a23a3)ax是指数函数，则实数a_.答案(1)(2)2解析(1)中指数式()x的系数不为1，故不是指数函数；中y2x1，指数位置不是x，故不是指数函数；中指数不是x，故不是指数函数；中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数，故填.(2)由y(a23a3)ax是指数函数，可得解得a2.反思感悟判断一个函数是否为指数函数的方法(1)底数的值是否符合要求；(2)ax前的系数是否为1；(3)指数是否符合要求跟踪训练1(1)若函数ya2(2a)x是指数函数，
3、则()Aa1或1 Ba1Ca1 Da0且a1答案C解析因为函数ya2(2a)x是指数函数，所以解得a1.(2)若函数y(2a3)x是指数函数，则实数a的取值范围是_答案(2，)解析由题意知解得a且a2.二、求指数函数的解析式、函数值例2(1)已知函数f(x)是指数函数，且f ，则f(3)_.答案125解析设f(x)ax(a0，且a1)，由f 得 所以a5，即f(x)5x，所以f(3)53125.(2)已知函数yf(x)，xR，且f(0)3，nN*，求函数yf(x)的一个解析式解当x增加1时函数值都以的衰减率衰减，函数f(x)为指数衰减型，令f(x)kx(k0)，又f(0)3，k3，f(x)3x
4、.反思感悟解决此类问题的关键是观察出函数是指数增长型还是指数衰减型，然后用待定系数法设出函数解析式，再代入已知条件求解跟踪训练2已知函数f(x)axb(a0，且a1)经过点(1,5)，(0,4)，则f(2)的值为_答案7解析由已知得解得所以f(x)x3，所以f(2)23437.三、指数增长型和指数衰减型函数的实际应用例3甲、乙两城市现有人口总数都为100万人，甲城市人口的年自然增长率为1.2%，乙城市每年增长人口1.3万试解答下面的问题：(1)写出两城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；(2)计算10年、20年、30年后两城市的人口总数(精确到0.1万人)；(3)对两城市人口增长
5、情况作出分析参考数据：(11.2%)101.127，(11.2%)201.269，(11.2%)301.430.解(1)1年后甲城市人口总数为y甲1001001.2%100(11.2%)；2年后甲城市人口总数为y甲100(11.2%)100(11.2%)1.2%100(11.2%)2；3年后甲城市人口总数为y甲100(11.2%)3；x年后甲城市人口总数为y甲100(11.2%)x.x年后乙城市人口总数为y乙1001.3x.(2)10年、20年、30年后，甲、乙两城市人口总数(单位：万人)如表所示.10年后20年后30年后甲112.7126.9143.0乙113126139(3)甲、乙两城市人
6、口都逐年增长，而甲城市人口增长的速度快些，呈指数增长型，乙城市人口增长缓慢，呈线性增长从中可以体会到，不同的函数增长模型，增长变化存在很大差异反思感悟解决有关增长率问题的关键和措施(1)解决这类问题的关键是理解增长(衰减)率的意义：增长(衰减)率是所研究的对象在“单位时间”内比它在“前单位时间”内的增长(衰减)率，切记并不总是只和开始单位时间内的比较(2)具体分析问题时，应严格计算并写出前34个单位时间的具体值，通过观察、归纳出规律后，再概括为数学问题，最后求解数学问题即可(3)在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示，通常可以表示为yN(1p)x(其
7、中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式跟踪训练3中国共产党第十八届中央委员会第五次全体会议认为，到2020年全面建成小康社会，是我们党确定的“两个一百年”奋斗目标的第一个百年奋斗目标全会提出了全面建成小康社会新的目标要求：经济保持中高速增长，在提高发展平衡性、包容性、可持续性的基础上，到2020年国内生产总值和城乡居民人均收入比2010年翻一番，产业迈向中高端水平，消费对经济增长贡献明显加大，户籍人口城镇化率加快提高设从2011年起，城乡居民人均收入每一年比上一年都增长p%.下面给出了依据“到2020年城乡居民人均收入比2010年翻一番”列出的关于p的四个关系式：(1p%)102；(1p%
8、)102；10(1p%)2；110p%2.其中正确的是()A B C D答案B解析已知从2011年起，城乡居民人均收入每一年比上一年都增长p%.则由到2020年城乡居民人均收入比2010年翻一番，可得：(1p%)102；正确的关系式为.1下列函数：y23x；y3x1；y3x；yx3.其中，指数函数的个数是()A0 B1 C2 D3答案B解析中，3x的系数是2，故不是指数函数；中，y3x1的指数是x1，不是自变量x，故不是指数函数；中，y3x，3x的系数是1，指数是自变量x，且只有3x一项，故是指数函数；中，yx3中底数为自变量，指数为常数，故不是指数函数所以只有是指数函数故选B.2若函数y(m
9、2m1)mx是指数函数，则m等于()A1或2 B1C2 D.答案C解析依题意，有解得m2(舍m1)，故选C.3如表给出函数值y随自变量x变化的一组数据，由此可判断它最可能的函数模型为()x210123y141664A.一次函数模型 B二次函数模型C指数函数模型 D幂函数模型答案C解析观察数据可得y4x.4某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系式是()Ay2x By2x1Cy2x Dy2x1答案D解析分裂一次后由2个变成2222(个)，分裂两次后变成4223(个)，分裂x次后变成y2x1(个)5f(x)为指数函数，若f(x)
10、过点(2,4)，则f(f(1)_.答案解析设f(x)ax(a0且a1)，所以f(2)4，a24，解得a，所以f(x)x，所以f(1)12，所以f(f(1)f(2)2.1知识清单：(1)指数函数的定义(2)指数增长型和指数衰减型函数模型2方法归纳：待定系数法3常见误区：易忽视底数a的限制条件：a0且a1.1下列函数中，指数函数的个数为()yx1；yax(a0，且a1)；y1x；y2x1.A0 B1 C3 D4答案B解析由指数函数的定义可判定，只有正确2若函数f(x)ax是指数函数，则f 的值为()A2 B2 C2 D2答案D解析因为函数f(x)是指数函数，所以a31，所以a8，所以f(x)8x，
11、f 2.3下列函数关系中，可以看作是指数型函数ykax(kR，a0且a1)的模型的是()A竖直向上发射的信号弹，从发射开始到信号弹到达最高点，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)B我国人口年自然增长率为1%时，我国人口总数与年份的关系C如果某人t s内骑车行进了1 km，那么此人骑车的平均速度v与时间t的函数关系D信件的邮资与其重量间的函数关系答案B解析A中的函数模型是二次函数；B中的函数模型是指数型函数；C中的函数模型是反比例函数；D中的函数模型是一次函数故选B.4据报道，某淡水湖的湖水在50年内减少了10%，若每年以相同的衰减率呈指数衰减，按此规律，设2019年的湖水量为m，从2019
12、年起，经过x年后湖水量y与x的函数关系为()AyBy(1)mCymDy(10.150x)m答案C解析方法一设每年的衰减率为q%，则(q%)500.9，所以q%，所以x年后的湖水量ym.方法二设每年的衰减率为q%，则(1q%)500.9，所以q%1，所以ym1(1)xm.5下列函数图象中，有可能表示指数函数的是()答案C解析A为一次函数；B为反比例函数；D为二次函数；选项C的图象呈指数衰减，是指数衰减型函数模型，故选C.6已知函数f(x)3(a0且a1)，若f(1)4，则f(1)_.答案0解析由f(1)4得a3，把x1代入f(x)3得到f(1)0.7若函数f(x)(a22a2)(a1)x是指数函
13、数，则a_.答案1解析由指数函数的定义得解得a1.8已知某种放射性物质经过100年剩余质量是原来质量的95.76%，设质量为1的这种物质，经过x年后剩余质量为y，则x，y之间的关系式是_答案y解析设质量为1的物质1年后剩余质量为a，则a1000.957 6.所以a，所以yax.9已知函数f(x)2x2axb，且f(1)，f(2).求a，b的值解由题意得即所以解得10有一种树栽植5年后可成材在栽植后5年内，该种树的产量年增长率为20%，如果不砍伐，从第6年到第10年，该种树的产量年增长率为10%，现有两种砍伐方案：甲方案：栽植5年后不砍伐，等到10年后砍伐乙方案：栽植5年后砍伐重栽，然后过5年再砍伐一次请计算后回答：10
