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1、初中数学比赛余数定理和综合除法第 1 讲 余数定理和综合除法知识总结概括一除法定理：f ( x) 和 g (x) 是两个一元多项式，且g (x)0 ，那么恰巧有两个多项式q( x) 及 r (x) ，使f (x)q (x) g (x)r (x) ，此中 r ( x)0 ，或许 r (x) 比 g ( x) 次数小。这里 f ( x) 称为被除式，g ( x) 称为除式，q( x) 称为商式，r ( x) 称为余式 .二余数定理：对于一元n 次多项式f (x)an xna n 1 xn 1La1xa0 ，用一元多项式xc 去除 f (x) ，那么余式是一个数。设这时商为多项式g ( x) ，那么
2、有f (x)( xc)g ( x)f (c)也就是说，xc 去除 f (x) 时，所得的余数是f (c) .三试根法的依照因式定理：假如 f (c)0 ，那么 xc 是 f (x) 的一个因式 . 反过来，假如 xc 是 f ( x) 的一个因式， 那么 f ( c)0 。四试根法的应用：假定 f (x)an xna n 1 xn 1La1xa0 是整系数多项式，又设有理数cp 是 f ( x) 的根 p、q 是q互质的两个整数 ，那么 p 是常数项 a0 的因数， q 是首项系数an 的因数 .特其他，假如an1 ，即 f (x) 是首 1 多项式，这个时候 q 1，有理根都是整数根。典型例
3、题一 . 多项式的除法【例 1】 f ( x)4x35 x22 x 3 ， g (x)x22x 1 ，试求 f ( x) 除以 g (x) 所得的商式 Q( x) 和余式R(x) .【例 2】 f ( x)3x54 x42 x335x228x18 ， g ( x)x32x2x13 ，试求 f (x) 除以 g( x) 所得的商式 Q( x) 和余式 R( x) .【例 3】 f ( x)5x47 x3 10x22 x 3 , g (x) x2 1 ，试求 f ( x) 除以 g (x) 所得的商式 Q( x) 和余式R(x) .二 . 综合除法【例 4】 用综合除法计算：(x45 x33x2x
4、1)( x1) .【例 5】 用综合除法求f (x)除以g( x) 所得的商式Q(x) 和余数R . 1f ( x)2 x25x3 ， g ( x)x3； 2 f ( x)3x32x21 ， g (x) x1.3【例 6】 用综合除法计算：(6 x45 x33x2x4)(2 x1) .【例 7】 先用综合除法求出f (x) 除以 g (x) 所得的商式和余式，不再作除法， 写出 f (x) 除以 h( x) 的商式和余式 . f (x) 2x34x2x 3 ， g( x)x 3 . 1 h( x) 2( x13) .3) ； 2 h( x)( x2三 . 余数定理和多项式理论【例 8】f (x
5、)x42x34 x1 ， g ( x)x2 ，求余数 R 的值 .【例 9】f (x)2 x33x28x14 除以 2x3 的余数 R 是多少？【例 10】 1求 x1除 f ( x) 7 x54x46 x25 所得的余数； 2求 2x 2除f (x) 7 x54x46 x25所得的余数 .32能够被 3x1和 2x3 整除，求 a ， b .【例 11】多项式 ax bx47x 15【例 12】试确立 a 、 b 的值，使多项式f ( x)2 x43x3ax25 xb 被 ( x1)( x2) 整除 .【例 13】 f ( x)x4ax32x2bx2 能被 x2x2 整除，求 ab 的值 .
6、【例 14】证明：当 a ， b 是不相等的常数时，假定对于x 的整式f (x) 能被xa ， xb 整除，那么f ( x)也能被积( xa)( xb) 整除 .【例 15】多项式 f ( x) 除以 x1、 x2 所得的余数分别为3 和 5，求 f ( x) 除以 ( x1)(x2) 所得的余式 .【例 16】对于假定 x 的三次多项式f ( x) 除以 x21 时，余式是2x1；除以 x24 时，余式是3x4 . 求这个三次多项式.【例 17】对于 x 的三次多项式f ( x) 除以 x2时，余式是2x5 ；除以 x2时，余式是3x 4 ，14求这个三项式 .【例 18】 f ( x)x3
7、2 x23x2 除以整数系数多项式g (x) 所得的商式及余式均为h(x) ，试求 g ( x)和 h(x) ，此中 h (x) 不是常数 .【例 19】 x3kx23 除以 x3 ，其他数比x1除所得的余数少2 ，求 k 的值 .432bx c 能被 (x3【例 20】假定多项式 xxax1) 整除，求 a ， b ， c 的值 .【例 21】假如当 x取 0， 1， 2 时，多项式分别取值0 ， 0 ， 1，试确立一个二次多项式f ( x) .四 . 因式分解试根法【例 22】分解因式： x35 x 4 .32.【例 23】分解因式： x6x 11x 6432.【例 24】分解因式： x2x 9x2 x 8【例 25】分解因式： 9x43 x37 x23 x2 .【例 26】分解因式： x62 x53x44 x33x22x1【例 27】分解因式： x39 x2 y26xy 224y3【例 28】分解因式： x3 5x211x 133【例 29】分解因式： x3(abc) x2(abbcca) xabc【例 30】分解因式： (a1)x3ax2( a3) x(a2)【例 31】分解因式： (lm) x3(3l2mn) x2(2lm3n)x2( mn)思想飞腾【例 32】假定 x23x 1 0 ，求 x35x25x 18 的值 .【例 33】假定 f ( x)x2m
