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1、第6章 代数方程与差分方程补充知识（7.7）差分方程求通解、平衡点及其稳定性 线性差分方程（组）平衡点及其稳定性分析方法： 一阶线性差分方程：，平衡点方程。相减得到，偏差满足齐次方程（非齐次解-非齐次解为齐次解），稳定性要求齐次方程的解收敛于零。由，（或直接考虑齐次方程，），稳定条件为。总结：求平衡点方程，平衡点稳定等价于齐次方程的解收敛于零。 对比一阶微分方程和通解、平衡点及其稳定性分析平衡点稳定条件为。平衡点分析只需考虑齐次方程即可，误差满足齐次方程，误差收敛于零则平衡点稳定。二阶线性差分方程：，平衡点方程。稳定性就是讨论是否收敛于零，满足齐次方程，其解为，是特征方程的根。稳定条件是总结：
2、求平衡点方程，平衡点稳定性等价于齐次方程的解收敛于零，求齐次方程通解（特征方程方法），稳定条件为特征值的模均均小于1。 对比二阶微分方程，其平衡点为。其通解为，其中为特征方程的根，平衡点稳定条件为，即稳定条件是同为负数或负实部。 一阶差分方程组等价于二阶差分方程，其通解形式类似。 一阶齐次差分方程组的一般形式为，设通解形式为，则有，即为的特征值，为对应的特征向量。若有两个不同的特征值，对应的特征向量为，则通解为平衡点稳定的条件是 二阶齐次差分方程的通解形式为 其平衡点稳定的条件是 非线性问题可应用线性化方法得到近似的线性方程，讨论平衡点的稳定性。 小结：平衡点就是时的极限状态，求极限得到平衡点
3、。稳定性条件就是对应的齐次方程的通解收敛于零的条件（一阶，二阶），非线性用线性化近似（导数，雅克比矩阵）。差分方程的解是幂，稳定性要求。微分方程的解是指数，要求为负或负实部。6.4 蛛网现象与差分方程组1。掌握蛛网差分方程和求平衡点的方法，掌握分析二维平衡点稳定性条件的方法（平衡点展开，消元得到递推公式）2 价格和供应量变化的蛛网现象和蛛网差分模型（差分方程）平衡点方程：稳定性条件（线性化方法-局部展开线性近似）：而，得到稳定条件为，即。 一阶差分方程组和一阶微分方程组类似，可用消元法转化为二阶方程求解，也可以直接求解。例题：求二阶差分方程的通解和平衡点，讨论平衡点的稳定性。解：特征方程为，。
4、其通解为。平衡点满足，即。当时，因此平衡点是稳定的。【典型例题与实验】例题（习题1） 对于7.1节蛛网模型讨论下列问题:(1)因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第时段的价格由第段和第时段的数量和决定。如果仍设只取决于，给出稳定平衡的条件，并与7.1节的结果进行比较(2)若除了由和决定之外，也由前两个时段的价格和确定，试分析稳定平衡的条件是否还会放宽。解：（1）简单的假设由和的平均值确定，模型为 整理得到：，其特征方程为，利用定理可知，其根均小于1的条件为和。因，故条件为直接计算， 当时，当时，稳定条件为，,（2）由条件可设，也是由的平均值决定，模型为 整理
5、得到特征方程为，该方程所有特征根的条件为。例题 (1)给出求二阶差分方程通解的方法；(2)求差分方程组的平衡点，推导平衡点稳定的条件。解： 求通解的方法：（1）特征方程为的特征根，设特征根为，则通解为。（2）平衡点为。令，则有，消元得到，即，特征方程的根为共轭复根，且。其平衡点稳定条件为特征根的模小于1，即稳定条件为。6.5 减肥计划模型体重指标-BMI（Body Mass Index)本节重点：差分方程的相关计算，求系数，求控制，求时间。体重模型：差分方程反问题：（1）求系数（参数），已知平衡点求系数平衡点方程：，可确定。由求解得到,且由状态目标求控制。（2）求：，递推求解由求。由状态目标求时间。还可以求初始值。抵押贷款问题，养老金问题。【综合实验与拓展】综合实验一、对于蛛网模型，设计给出价格函数和生产函数的具体形式，求平衡点，讨论平衡点的稳定性，应用数值实验方法，研究平衡点稳定性与相关参数之间的关系。综合实验二、推导一般的三次多项式根模小于1的条件，应用MATLAB中的roots验证所给出的条件。
