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1、数学教学要让学生学会“探索”优秀获奖科研论文 倡导积极主动、勇于探索的学习方式是新课程标准的基本理念之一，普通高中数学课程标准(实验)指出：“数学学习不仅仅是记忆一些重要的数学结论，更要发展数学思维能力和积极的情感态度，这就需要学习者有积极主动、勇于探索的精神，需要有自主探索的过程.” 在数学教学中，教师要善于引导学生主动探索，积极开展思维活动，在大量的探索中提高独立思维的能力.本文试图从观察、试算、归纳、联想、类比等探索过程的基本思维活动，谈谈引导学生进行“探索”的做法和体会. 1.观察 观察是思想的起点，数学观察则是人们对数学问题在客观情景下考察其数量关系及其图形性质的方法.解决数学问题首
2、先要从观察开始，通过观察已得到的信息，联系已有知识，经过思维分析，求出未知信息.因此在数学教学中，教师应引导学生掌握数学观察的方法，培养学生良好的数学观察品质，进而形成敏锐的观察能力. 1.1 观察隐含条件，培养观察的严密性 “隐含条件”是指题中若明若暗、含而不露的已知条件，往往不易被发现，如：函数的定义域；一元二次方程的二次项系数a=0情形；应用均值不等式求最值的“一正、二定、三相等 ”的相等条件；等差数列公差为0、等比数列公比为1的情形等.教学中应引导学生观察时全面、细致、充分挖掘，使解题圆满而无“杂、漏”. 1.2 观察内在规律，培养观察的敏锐性 有时条件中蕴含了非常巧妙的内在规律，这些
3、规律往往反映了问题的本质，令人拍案叫绝，而这些规律的发现，需要我们用敏锐的目光去观察，去挖掘. 例1 设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)=x2，若对任意xt,t+2，不等式f(x+t)2f(x)恒成立，则实数t的取值范围是 . 解析：因f(x)是分段函数，一般用分类讨论的方法求解，但过程繁冗.深入观察发现：2f(x)=f(2x)，化为f(x+t)f(2x),利用f(x)在R上单调递增即可获解. 1.3 观察数式，联想图形，树立学生数形结合的思想意识，培养观察的全面性 数和形是数学知识体系中两大基础概念，把刻划数量关系的数和具体直观的图形有机结合，将抽象思维与形象思维有机结合，
4、根据研讨问题需要，把数量关系的比较转化为图形性质或其位置关系的讨论，或把图形间的待定关系转化为相关元素的数量计算，由数想形，以形助数，引导学生树立数形结合的意识，进而培养观察的全面性. 1.4 观察参变量关系，培养观察的独特性 许多数学问题，都含有常量、参量和变量(统称为元素)，这些元素中，必有某个元素在问题中处于突出的、主导的地位，这样的元素叫主元.但在处理含有参数与主变量的有关问题时，我们往往突破思维定势，选取参变量为主元，而视原来的“主元”为参量，反客为主，化难为易，化繁为简. 例2 设方程x2+ax+b-2=0(a,bR)在(-，-22，+)上有实根，求a2+b2的取值范围. 解析：本
5、题若直接由条件出发，利用实根分布条件求出a,b满足的条件，即在aOb坐标平面内表示的区域，再视a2+b2为区域内点与原点距离的平方，以此数形结合方法，亦可获解，但过程很繁琐.考虑到变量a,b是我们要面对的主变量，故我们反客为主，视方程x2+ax+b-2=0(a,bR)为aOb坐标平面上的一条直线l:xa+b+x2-2=0,P(a,b)为直线上的点，则a2+b2即为|PO|2，设d为点O到直线l的距离，由几何条件知：|PO|2d2=|x2-2|x2+12=(x2+1-3)2x2+1=(x2+1)+9x2+1-6,x(-,-22,+)，令t=x2+1,t5,+),且函数t+9t在5,+)上递增，|
6、PO|2(x2+1)+9x2+1-6=t+9t-645,等号成立的条件是|PO|=d, x2+1=5,即x=2.故当x=2,a=-45,b=-25或x=-2,a=45,b=-25时，(a2+b2)玬in=45. 在一个含有多个变量的问题中，“主”和“客”是相对而言的，“客随主便”理所当然，但“喧宾夺主”也未尝不可. 1.5 观察结构特征，培养观察的深刻性 例3 已知x,y,zR且x+y+z=，x2+y2+z2=22.求证：0x,y,z23. 解析：本题含3个变量，超出了学生的“承受极限”，但观察后发现，条件可化为：x+y=-z和x2+y2=22-z2，分别表示直线和圆，而点(x,y)是他们的公
7、共点，利用直线与圆的位置关系立得所证结论. 将“三元”化为“二元”是结构特征的改变，而观察“二元”式的结构特征，用数形结合思想求解则体现了观察的深刻性. 2.试算 有时人们为解决一个问题不是一下子就找到了办法，而是要经过一些尝试的步骤，对每一种尝试都要伴随着一些试算. 2.1 通过试算寻找条件与结论之间的数量关系 某些问题中，条件与结论之间的数量关系“深藏不露”，仅靠观察还不能“识破庐山真面目”，只有通过计算才能“一语道破天机”. 例4(2002年高考题)已知函数f(x)=x21+x2，则f(1)+f(2)+f(12)+f(3)+f(13)+f(4)+f(14)= . 解析：通过试算，发现隐含
8、在条件和结论之间的数量关系：f(x)+f(1x)=1,从而使问题简捷获解. 2.2 通过试算寻求解决问题的方法 例5 已知a1，n3，证明或否定：an-2+an-112n-1(1+a)n-an+1. 解析：这其实是一个未知命题，结果难以判断.可先用特殊试算：当n=3时，不等式变成a2+a14(1+a)3-a3+1，整理得a2+a-20，即(a-1)(a+2)0,由a1知，上式显然成立；再令n=4，不等式变成：a3+a218(1+a)4-a4+1，整理得2a3+a2-2a-10，即(a2-1)(2a+1)0,同样由a1知，上式也成立；再令n=5,不等式变成a4+a3116(1+a)5-a5+1，
9、整理得11a4+6a3-10a2-5a-20，因式分解不易，把负的移到右边去呢?11a4+6a310a2+5a+2终于有了发现，左右两边的系数和是相等的，是17.如果把左边缩小为17a3，而右边正好可以扩大为17a3，岂不妙哉! 回头看看n=3和n=4，同样如此! 证明：原不等式赼n-2+an-112n-1(2+C1na+C2na2+Cn-1猲an-1)(1-Cn-1猲2n-1)an-1+(1-Cn-2猲2n-1)an-212n-1(Cn-3猲an-3+Cn-4猲an-4+C1na+2),a1,n3,1-Cn-1猲2n-1>0,1-Cn-2猲2n-1>0,左边(1-Cn-1猲2n-
10、1)an-2+(1-Cn-2猲2n-1)an-2=S,右边12n-1(Cn-3猲an-2+Cn-4猲an-2+C1nan-2+2an-2)=T,S-T=an-2(1-Cn-1猲2n-1)+(1-Cn-2猲2n-1)-12n-1(Cn-3猲+Cn-4猲+C1n+2)=an-22-12n-1(1+Cn-1猲+C1n+1)=0. 故左边右边，于是不等式得证. 通过试算特殊值，寻求问题的一般解法，体现了从特殊到一般的过程；通过试算，可以激发学生兴趣，开阔眼界，更重要的是能培养学生不墨守成规，敢于尝试，大胆发现的进取精神. 2.3 通过试算找出反例否定一些错误论断 费马猜想是数学史上著名的案例：1640
11、年，费马验证当n=1,2,3,4时22n+1均为素数，于是得出了22n+1为素数的猜想，但一个世纪后，欧拉指出225+1=4294967297=6700417641，从而推翻了费马的猜想. 3.归纳 归纳是观察某一类事物在某一性质上有明显相似之处，若能构成一种判断，则说我们对这类事物经过归纳发现某种性质.归纳法有完全归纳法和不完全归纳法之分.后者虽说是不严格的，但常常是发现真理的桥梁. 如中学课本中有8个同角三角函数的基本关系式：玸in玞sc=1,玞os玸ec=1;玹an玞ot=1;玹an=玸in玞os;玞ot=玞os玸in;玞os2+玸in2=1;1+玹an2=玸ec2;1+玞ot2=玞sc
12、2，在此后可编造成千上万的同角三角函数的恒等式.比如课本中就有几个证恒等式的问题：玞ot2(玹an2-玸in2)=玸in2;(1-玸in2)(玸ec2-1)=玸in2(玞sc2-玞ot2);玹an2-玸in2=玹an2玸in2;玞os1-玸in=1+玸in玞os. 我们作一个对换：在上述任一恒等式中将玹an换成玞ot,玞ot换成玹an,玸in换成玞os,玞os换成玸in,玸ec换成玞sc,玞sc换成玸ec，经过这样变换后所得式子仍是恒等式：玹an2(玞ot2-玞os2)=玞os2;(1-玞os2)(玞sc2-1)=玞os2(玸ec2-玹an2);玞ot2-玞os2=玞ot2玞os2;玸in1-
13、玞os=1+玞os玸in. 至此是否可以归纳出一个命题呢?注意到在诱导公式中这样的变换并不能得恒等式，例如玸in(-)=-玸in但玞os(-)-玞os，但我们可谨慎地归纳出下面 的定理： “凡是由8个三角函数基本关系式所导出的恒等式中，同时将玸in与玞os互换，玸ec与玞sc互换，玹an与玞ot互换，所得式子仍是一个恒等式.”其证明也很简单，将上述互换施行到基本恒等式中恰有：茛冢茛伲茛郏茛荩茛埽茛蓿茛啵茛.故定理对基本恒等式是成立的，对由此导出的任一恒等式也应成立. 4.联想 波利亚说过，在陌生中寻找熟悉，这个寻找的过程其实就是联想的过程.所谓联想，是由当前感知或思考的事物想起有关的另一事物，
14、或由此再想起其他事物的心理活动.联想是一种自觉的或有目的想象，它在我们数学活动中无处不在，运用联想我们可以进行数形转换，将代数问题转化为几何问题，或者将几何问题转化为代数问题；运用联想，对数式结构进行想象，联系有关的概念，公式、定理等，可以化未知为已知. 4.1 接近联想把握问题探究的“分水岭” 数学问题的探究有时需要一个环节一个环节地进行，进行到某一个环节时，会出现不同的探究方向，即所谓的问题探究的“分水岭”，把握好这个“分水岭”，能使问题的探究少走弯路，减少不必要的干扰.把握好这个“分水岭”，接近联想是我们选用的方法之一.接近联想主要是由概念、原理、法则、策略的接近而产生的联想，一般教材在
15、学习定理、法则和公式之后的巩固和练习题中，大都借助了这种联想.灵活地运用接近联想，可提高解题技巧和创新能力. 例6(2003江苏) 已知长方形四个顶点A(0，0)，B(2，0)，C(2，1)和D(0，1).一顶点从AB的中点P0沿与AB夹角为的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4(入射角等于反射角).设P4的坐标为(x4,0).若1 A.(13，1) B.(13，23) C.(25，12) D.(25，23) 解析：本题的难点在于如何找出由的变化而引起的入射点位置的变化，这两者之间的关系若通过列出x4与的关系式，经过运算去解决，不但时间花费多，而且又不易得到正确的解答. 画出图形，取BC中点E，C
