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1、高等数学知识点总结高一数学必修1知识点 高三数学重点知识题目 高中数学公式大全 高等数学知识点整理 篇一:高等数学知识点归纳 第一讲: 一. 数列函数: 1. 类型: 极限与连续 (1)数列: *an?f(n); *an?1?f(an) (2)初等函数: (3)分段函数: *F(x)? ?f1(x)x?x0?f(x)x?x0 ; *F(x)?;* , ?ax?x0?f2(x)x?x0 (4)复合(含f)函数: y?f(u),u?(x) (5)隐式(方程): F(x,y)?0 (6)参式(数一,二): ? ?x?x(t) ?y?y(t) (7)变限积分函数: F(x)? ? x a f(x,t)
2、dt (8)级数和函数(数一,三): S(x)? 2. 特征(几何): ?ax,x? nnn?0 ? (1)单调性与有界性(判别); (f(x)单调?x0,(x?x0)(f(x)?f(x0)定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: y?f(x)?x?f二. 极限性质: 1. 类型: *liman; *limf(x)(含x?); *limf(x)(含x?x0?) n? x? ?1 (y)?y?f?1(x) x?x0 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 0? ,1,?,0?,00,?0 0? 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论
3、: an n?1, a(a?0)?1, (a?b?c?maxa(b, c, ) ?a?0?0 n! n n 1n1n1nn 1xnlnnxx x?1, lix?0?0, (x?0)?, lim, lim? x?x?x?0xex x xlnx?0 lim, e?x?0? n ?0x? , ?x? 四. 必备公式: 1. 等价无穷小: 当u(x)?0时, ux(?)ux(; ) tanu(x)?u(x); 1?cosu(x)? sin 12 u(x); 2 eu(x)?1?u(x); ln(1?u(x)?u(x); (1?u(x)?1?u(x); unx(?)ux; ( arctanu(x)?u(
4、x) arcsi 2. 泰勒公式: 12 x?o(x2); 2!122 (2)ln(1?x)?x?x?o(x); 2134 (3)sinx?x?x?o(x); 3! 12145 (4)cosx?1?x?x?o(x); 2!4! ?(?1)2? x?o(x2). (5)(1?x)?1?x? 2! (1)e?1?x? x 五. 常规方法: 前提: (1)准确判断, 1. 抓大弃小( 0?1 ,1,?M(其它如:?,0?,00,?0); (2)变量代换(如:?t) 0?x ?), ? 2. 无穷小与有界量乘积 (?M) (注:sin ? 1 ?1,x?) x 3. 1处理(其它如:0,?) 4. 左
5、右极限(包括x?): 1 1x (1)(x?0); (2)e(x?); ex(x?0); (3)分段函数: x, x, maxf(x) x 00 5. 无穷小等价替换(因式中的无穷小)(注: 非零因子) 6. 洛必达法则 (1)先”处理”,后法则( 0xlnxxlnx最后方法); (注意对比: lim与lim) x?11?xx?01?x0 v(x) (2)幂指型处理: u(x) (3)含变限积分; ?e v(x)lnu(x) (如: e 1x?1 ?e?e(e 1x1x11?x?1x ?1) (4)不能用与不便用 7. 泰勒公式(皮亚诺余项): 处理和式中的无穷小 8. 极限函数: f(x)?
6、limF(x,n)(?分段函数) n? 六. 非常手段 1. 收敛准则: (1)an?f(n)?limf(x) x? (2)双边夹: *bn?an?cn?, *bn,cn?a? (3)单边挤: an?1?f(an) *a2?a1? *an?M? *f'(x)?0? ?f ?fx'0( ) ?x?0?x 1112n lif?)f(?)?f(?)fxd( 3. 积分和: , x)?0n?nnnn 2. 导数定义(洛必达?): li 4. 中值定理: limf(x?a)?f(x)?alimf'(?) x? x? 5. 级数和(数一三): ? 2nn! (1)?an收敛?lim
7、an?0, (如limn) (2)lim(a1?a2?an)?an, n?n?nn? n?1n?1 ? ? (3)an与 ?(a n?1 n ?an?1)同敛散 七. 常见应用: 1. 无穷小比较(等价,阶): *f(x)?kx,(x?0)? (1)f(0)?f'(0)?f (2) (n?1) n (0)?0,f(n)(0)?a?f(x)? ana x?(xn)?xn n!n! ? x f(t)dt?ktndt x 2. 渐近线(含斜): f(x) ,b?limf(x)?ax?f(x)?ax?b? x?x?x 1 (2)f(x)?ax?b?,(?0) x (1)a?lim 3. 连续性
8、: (1)间断点判别(个数); (2)分段函数连续性(附:极限函数, f'(x)连续性) 八. a,b上连续函数性质 1. 连通性: f(a,b)?m,M (注:?0?1, “平均”值:?f(a)?(1?)f(b)?f(x0) 2. 介值定理: (附: 达布定理) (1)零点存在定理: f(a)f(b)?0?f(x0)?0(根的个数); (2)f(x)?0?( ? x a f(x)dx)'?0. 第二讲:导数及应用(一元)(含中值定理) 一. 基本概念: 1. 差商与导数: f'(x)?lim ?x?0 f(x?x)?f(x)f(x)?f(x0) ; f'(x0
9、)?lim x?x0?xx?x0 (1)f'(0)?lim x?0 f(x)?f(0)f(x) ?A(f连续)?f(0)?0,f'(0)?A) (注:lim x?0xx (2)左右导: f?'(x0),f?'(x0); (3)可导与连续; (在x?0处, x连续不可导; xx可导) 2. 微分与导数: ?f?f(x?x)?f(x)?f'(x)?x?o(?x)?df?f'(x)dx (1)可微?可导; (2)比较?f,df与"0"的大小比较(图示); 二. 求导准备: 1. 基本初等函数求导公式; (注: (f(x)')
10、 2. 法则: (1)四则运算; (2)复合法则; (3)反函数三. 各类求导(方法步骤): dx1 ? dyy' f(x?h)?f(x?h) h 1. 定义导: (1)f'(a)与f'(x)x?a; (2)分段函数左右导; (3)lim h?0 (注: f(x)? ?F(x)x?x0 , 求:f'(x0),f'(x)及f'(x)的连续性) , x?x0?a 2. 初等导(公式加法则): (1)u?fg(x), 求:u'(x0)(图形题); (2)F(x)? ? x a f(t)dt, 求:F'(x) (注: (?f(x,t)dt
11、)',(?f(x,t)dt)',(?f(t)dt)') a a a xbb ?f1(x)x?x0 , (3)y?,求f?'(x0),f?'(x0)及f'(x0) (待定系数) ?f2(x)x?x0 dyd2y, 3. 隐式(f(x,y)?0)导: dxdx2 (1)存在定理; (2)微分法(一阶微分的形式不变性). (3)对数求导法. ?x?x(t)dyd2y ,2 4. 参式导(数一,二): ?, 求: dxdx?y?y(t) 5. 高阶导f(n)(x)公式: (e) ax(n) 1(n)bnn! ; )?ae; ( a?bx(a?bx)n?1
12、 nax(n) (sinax) ?ansin(ax? ? 2 ?n); (cosax)(n)?ancos(ax? ? 2 ?n) 1(n?1)2(n?2) (uv)(n)?u(n)v?Cnuv'?Cnuv"? 注: f (n) f(n)(0) (0)与泰勒展式: f(x)?a0?a1x?a2x2?anx?an? n! n 四. 各类应用: 1. 斜率与切线(法线); (区别: y?f(x)上点M0和过点M0的切线) 2. 物理: (相对)变化率?速度; 3. 曲率(数一二): ? 曲率半径, 曲率中心, 曲率圆) 4. 边际与弹性(数三): (附: 需求, 收益, 成本, 利
13、润) 五. 单调性与极值(必求导) 1. 判别(驻点f'(x0)?0): (1) f'(x)?0?f(x)?; f'(x)?0?f(x)?; (2)分段函数的单调性 (3)f'(x)?0?零点唯一; f"(x)?0?驻点唯一(必为极值,最值). 2. 极值点: (1)表格(f'(x)变号); (由lim x?x0 f'(x)f'(x)f''(x) ?0,lim?0,lim2?0?x?0的特点) x?x0x?x0xxx (2)二阶导(f'(x0)?0) 注(1)f与f',f"的匹配(f&#
14、39;图形中包含的信息); (2)实例: 由f'(x)?(x)f(x)?g(x)确定点“x?x0”的特点. (3)闭域上最值(应用例: 与定积分几何应用相结合, 求最优) 篇二:高等数学知识点总结 高等数学知识点总结 导数公式: 2 (tanx)?secx(ctanx)?cscx(secx)?secx?tanx(cscx)?cscx?cotx(a)?alna(log ax x 2 (arcsinx)?(arccosx)?(arctanx)? 1?x 2 1?x1 2 1?x 2 x)? 1xlna (arccotx)? 11?x 2 基本积分表: 三角函数的有理式积分: ?tan?sec?a?x?a? xdx?lncosx?C ?cotxdx?lnsinx?C xdx?lnsecx?tanx?C ?cos?sin dx 2 xx ? ?sec?csc 2 xdx?tanx?Cxdx?cotx?C dx
