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1、基本微粒群算法Vt+i = oVt + c rti i 11Pt 一 X丄 c rti i 2 2Pt 一 XtgiXt +1 = Xt + V t +1i i i带压缩因子微粒群算法V t+i =piVt + c rti 1 1Pt 一 Xt L c rti i 2 2形式上与基本PSO算法相同即3=0、CF C、c 2 =9 C 2。线性递减权重微粒群算法o=omaxmaxo )mintmax式中t为当前代数，t 为最大代数，、一般可分别取0.9、0.4；随迭代进maxmax min行，惯性权重由0.9线性减小至0.4。在搜索早期，惯性权重较大，微粒具有较强的全局搜 索能力；搜索后期，惯性
2、权重较小，有利于微粒的局部搜索，提高收敛速度。自适应权重微粒群算法o=omin(co一)f f )+ - maxminminavg minmax = f favg式中 f 为当前微粒的目标函数值， f 为当前所有微粒目标函数值的平均值， f 为avgmin当前所有微粒目标函数值中的最小值。若微粒的目标函数值小于平均值，说明该微粒相对 较优，则惯性权重较小，以保持其优势倾向于局部搜索；相反，若微粒的目标函数值大于 平均值，则该微粒相对较劣，取较大惯性权重，以利全局搜索。随机权重微粒群算法（随机确定权重）=min(max一min)rand+ o -randn式中rand为随机函数，randn为正态
3、分布函数，为随机权重方差。线性递减权重 PSO算法若在搜索的初始阶段未能获得较好的点，则可能导致最终微粒群无法收敛于最优 点。随机权重则可在一定程度上克服该弱点。同步变化学习因子微粒群算法c = c = c1 2 maxt (cmaxc )mintmax异步变化学习因子微粒群算法c = c1 1maxt (c1maxc )1mintmaxc = c2 2mint (c2maxc)2mintmax随着迭代过程的进行，c 1逐渐减小自我学习能力降低全局搜索能力减弱；c2逐渐 提高，社会学习能力提高，局部搜索能力加强。二阶微粒群算法Vt+i =oVt + c rti i 1 1 xt)+ (Xt-1
4、 - X+ c rti i ig i i i该算法微粒的速度变化不仅与微粒的位置Xt 有关，而且还与微粒的位置变化 iX t-1 - X t有关。例如下图ii(Pt - Xtii)+(Xt-1 -Xtii混沌微粒群算法 混沌理论的主导思想是，宇宙本身处于混沌状态，在其中某一部分中似乎并无关联的 事件间的冲突，会给宇宙的另一部分造成不可预测的后果。这意味着，系统具有放大作用。 一个微小的运动经过系统的放大，最终影响会远远超过该运动的本身。美国气象学家爱德华罗伦兹(Edward N.Lorentz) 1963年在一篇提交纽约科学院的论 文中分析了这个效应。“一个气象学家提及，如果这个理论被证明正确
5、，一只海鸥扇动翅膀足以永远改变天气变化。”在以后的演讲和论文中他用了更加有诗意的蝴蝶。对于这个 效应最常见的阐述是：“一只南美洲亚马逊河流域热带雨林中的蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀， 可以在两周以后引起美国德克萨斯州的一场龙卷风。”其原因就是蝴蝶扇动翅膀的运动， 导致其身边的空气系统发生变化，并产生微弱的气流，而微弱的气流的产生又会引起四周 空气或其他系统产生相应的变化，由此引起一个连锁反应，最终导致其他系统的极大变化。 它称之为混沌学。在 PSO 算法中引入混沌算法，即在搜索过程中选择微粒群中一部分目标函数较优的微粒（如 20%），进行混沌搜索，首先要将决策变量转化为混沌搜索变量（该变量范围为01
6、）SkiX k - XiminX - Xmaxmin式中X min、X maX为变量的搜索边界,S k+1 : i 而后再将混沌搜索变量转化为决策变量X k+1 二 X i min以此混沌搜索变量进行混沌搜索二 4S k （ - S Jii+ S k+1Q - X）i max minSIteration每次搜索均要对微粒群的P t、P t进行更新，经过k次混沌搜索后，缩小混沌搜索边界 igX= maxE,Pt一 rand（X一 X）minmingmaxminX= minE,Pt+ rand（X- X）maxmaxgmaxmin在此缩小的搜索范围内，重新随即产生其余80%的微粒，重新构成完整的微
7、粒群，进行下 一轮的微粒群搜索。,取 Sk = 0.02、Sk = 0.02001ii在 10 代之间基本没有差别，但 10 代以后却有很大的差异，这差异来自初始值 0.00001 的差别（0.05%的误差），这就是蝴蝶效应。基于自然选择的微粒群算法Vt +1 = Vt+1 badgoodXt+1 = Xt +1 badgood在迭代过程中，将各微粒的目标函数值排序，其中50%较劣微粒的速度与位置用其余50%较优微粒的速度与位置替换，而50%较劣微粒的个体最优位置等信息保持不变。基于杂交的微粒群算法t+1i1V t+1 + V t+1ili 2 IXt+1 = rand Xt+1 + （1 一
8、 rand）Xt+1ii1i 2t+i + V t+iili 2t+1i 2V t+1 + V t+1i1i 2Xt+1 = （1 一 ran）Xt+1 + ran dXt+1ii1i 2V t+i =i按照一定的杂交概率选取一定数量的微粒（亲代），在亲代中随机杂交获得相同数目 的子代以替换亲代。基于部分微粒更新和非线性动态惯性权重的微粒群算法（NNLDWPSO）Vt+1 = 3 tVt + c rt Ct X t L c rt Ct X J31 =3maxii 1 1 ii 2 2 g imaxXt+1 = Xt + Vt+1ii i采用非线性惯性权重和微粒更新相结合，对微粒群中一定比例的微
9、粒进行更新，即采用随机的新位置Xt+1 = X+ rand（X-X）以替换微粒的原有位置。即一定比例的i minmax min微粒离开微粒群，相同数量的新微粒进入微粒群。这不仅有较高的收敛速度，而且还能保 持较好的微粒多样性，即可提高收敛速度，又可避免陷入局部最优。全面学习的微粒群算法（ CLPSO，J J Liang IEEE Transaction on EvolutionaryComputation 2006 10 （3）： 67-82）-iVt+1 = wVt + - rand P Xt -iiiiXt+1 = Xt + Vt+1ii i式中0为加速因子，P为任何可能的微粒位置，任何可
10、能的微粒包括：微粒自身、微 i粒群中其他任一微粒。迭代中按照一定的概率选择学习对象是微粒自身或其他微粒（其他 微粒可选择几个，从中再选出较优的一个微粒作为学习对象）。这样算法具有更多的学习 对象，甚至微粒的每个坐标可向不同的微粒学习，具有较强的全局搜索能力。基于模拟退火的微粒群算法模拟退火算法（Simulated Annealing, SA）是基于Mente-Carlo迭代求解策略的一种随 机寻优算法。该算法基于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温时， 固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都 达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最
11、小。模拟退火算法从某一较高初温出发， 伴随温度参数的不断下降，结合概率突跳特性在解空间中随机寻找目标函数的全局最优 解，即在局部最优解能概率性地跳出，从而可有效避免陷入局部极小并最终趋于全局最优 的串行结构的优化算法。模拟退火算法是一种通用的优化算法，理论上算法具有概率的全 局优化性能，目前已在工程中得到了广泛应用，诸如生产调度、控制工程、机器学习、神 经网络、信号处理等领域。模拟退火与微粒群算法相结合的过程如下：（1）产生初始的微粒群及P、P。 ig2）设定初始温度及退火迭代次数 M0 ln53）确定当前温度下各微粒的适应值（ N 为微粒群规模）if C)f C)- ige tf c )f
12、c )- igeTi=1以此适配值以一定的策略（本例为轮盘赌，也可采用其他策略，适配值可能需要相应修改） 选择其中的一个微粒替代全局最优点 P 。这样随机选择出来的微粒并非当前的全局最优g点，而把它替代当前的最优点，则使得目标函数值并非较优（因为优化问题为最小值问题时，总是P P ）的微粒有可能成为当前的最优点（体现出微粒无序）算法有一定的概 ig率跳出局部最优点。4）按照微粒群微粒的进化方程对微粒进行迭代（此时 P 已变化），并根据微粒群 g的方法更新微粒的P与P值。ig（ 5）退火T =九Tk+1k九 M时（也可以运算精度作为收敛判据），退出算法，以当前的P和 g则，重复步骤（ 3） （
13、6）基本微粒群算法xm,fv=PSO(fitness,N,c1,c2,w,M,D)xm,最小点；fv,最小值；fitness,目标函数；N,微粒群规模；cl, c2，学习因子；w, 惯性权重；M,最大迭代代数；D,目标函数维数。%基本微粒群算法function xm,fv = PSO(fitness,N,cl,c2,w,M,D)format long;%初始化种群的个体for i=l:Nfor j=l:Dx(i,j)=randn; %随机初始化位置v(i,j)=randn; %随机初始化速度endend%先计算各个粒子的适应度，并初始化Pi和Pgfor i=l:Np(i)=feval(fitness,x(i,:);y(i,:)=x(i,:);endpg = x(N,:);%Pg 为全局最优for i=l:(N-l)if feval(fitness,x(i,:)feval(fitness,pg)pg=x(i,:);endend%进入主要循环,按照公式依次迭代for t=l:Mfor i=l:Nv(i,:)=w*v(i,:)+cl*rand*(y(i,:)-x(i,:)+c2*rand*(pg-x(i,:);x(i,:)=x(i,:)+v(i,:);if feval(fitness,x(i,:)p(i)p(i)=feval(fitness,x(i,:); y(i,:)=
