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1、第 43 讲 空间角-求线线夹角 （第1课时）神经网络准确记忆！空间角 重点难点好好把握！重点：1各类空间角的范围；2各类空间角的求法。难点：作出各类空间角，特别是二面角的平面角。考纲要求注意紧扣！1理解线线夹角、线面夹角和面面夹角的概念；2掌握上述三种空间角的范围；3能正确作出上述三种空间角；4. 能求出上述三种空间角。命题预测仅供参考！考得较多的是异面直线成角和二面角。考点热点一定掌握！1求线线夹角 定义：从二异面直线外的任一点引这两异面直线的平行线，引出的这两条直线所夹的锐角或直角叫做这两异面直线所成的角。范围：两异面直线所成的角 。 求线线夹角的步骤如下：找出或作出线线夹角；证明其确实
2、是所求的线线夹角；计算角的值，一般均在三角形中进行。 求线线夹角常用的方法如下：若两线共面，用平面几何或三角知识来解。若两直线异面，可在其中一条上取一特殊点，过此点引另一直线的平行线。若两直线异面，可在两直线之外取一特殊点，过此点分别引两直线的平行线。例如图1-1，已知一个直角三角形的两直角边的边长分别为、，把这个三角形沿斜边上的高折成直二面角，如图1-2。求两直角边夹角的余弦。解：图1-2中，连接，图1- ， 是二面角的平面角。 ，图1-1中， ， ，图1-2图1-2中， , 。 点评：本题使用方法。例如图，已知长方体，对角线与侧棱、的夹角均为60，求与的夹角。分析： ，故只需求与的夹角。解
3、法一：设 ，连接，在中， ， 。同理， ， ， 。点评：本题使用方法。本题中两线夹角在图上已存在。解法二：在长方体中，设一条对角线与各棱夹角分别是、，则 ，即 ， ， 。例如图，已知圆的半径为3，垂直圆所在的平面于，且，是圆的切线，为切点，求与所成的角。解：在内作 ，连接、，则 即为与所成的角。由作辅助线的过程可知，是平行四边形，又 ， ，又 ， ， 平面， ， ， 与所成的角为。点评：本题使用方法。本题中两线夹角需要自行画出。能力测试认真完成！参考答案仔细核对！LJ0110求线线夹角的方法12345678求线线夹角的方法123线线夹角的应用1如图，平面，交线为，是上的一点。在内引射线和成角；
4、在内引射线和成角。求、所夹的角。（分析题目时使用左图，写解答过程时请使用右图。）解：如图，设，在上取一点，设 （），在内引与交于点；在内引与交于点。则 是二面角-的平面角。 ， ， ，。 ， ， （6420）。点评：本题使用方法。2如图，已知直二面角-，直线与平面、成30角，求与所成的角。（分析题目时使用左图，写解答过程时请使用右图。）分析：只需过（或）作的平行线。解：如图，作，设，则在中，在中，过点在平面内作，于，则 （三垂线定理），又 为矩形， ，在中， , 与所成的角为 。点评： 必须在异面直线中的一条上取特殊点作另一直线的平行线。 本题使用方法。3如图，直二面角-，为等腰直角三角形，求
5、与的夹角。（分析题目时使用左图，写解答过程时请使用右图。）解：如图，在内作 ，连接、，则就是与的夹角。 ， 是矩形， =，=，=， ， ， ， ，同理， ， ， , （）故与的夹角为 。点评：本题使用方法。5（2000年高考上海理科题）如图，在四面体ABCD中，AB、BC、BD两两互相垂直，且ABBC2，E是AC的中点，异面直线AD与BE所成的角的大小为arccos，求四面体ABCD的体积。解：建立如图直角坐标系，由题意，有A（0，2，0），C（2，0 ，0），E（1，1，0），设D点的坐标为（0，0 ，z）（z0），则 （1，1，0），（0，2，z），设与所成角为，则 ，又 z0， ，解之得z4 ， VABCDABBCBD224= 。
