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1、 11.1直线方程教案（）第一篇：11.1直线方程教案（精选） 111 （）直线方程（点法向式） 一、教学内容分析 本节的重点是直线的点法向式方程以及一般式方程的推导及应用.在上一堂课的根底上，通过向量垂直的充要条件（对应坐标的关系式）推导出直线的点法向式方程.引导同学发觉直线的点方向式方程、点法向式方程都可以整理成关于x、y的一次方程ax+by+c=0（a、b不全为零）的形式. 本节的难点是通过对直线与二元一次方程关系的分析，初步熟悉曲线与方程的关系并体会解析几何的根本思想！从而培育学生用坐标法对平面直线（和以后的圆锥曲线）的讨论力量. 二、教学目标设计 在理解直线方程的意义，把握直线的点方
2、向式方程的根底上，进一步探究点法向式方程以及一般式方程；学会分类争论、数形结合等数学思想，形成探究力量. 三、教学重点及难点 直线的点法向式方程以及一般式方程； 四、教学过程设计 一、复习上一堂课的教学内容 二、讲授新课 （一）点法向式方程 1、概念引入 从上一堂课的教学中，我们知道，在平面上过一已知点P，且与某一方向平行的直线l是惟一确定的同样在平面上过一已知点P，且与某一方向垂直的直线l也是惟一确定的 2、概念形成 n 直线的点法向式方程 在平面上过一已知点P，且与某一方向垂直的直线l是惟一确定的.建立直角坐标平面，设P的坐标是r(x0,y0)，方向用非零向量n=(a,b)表示. n 直线
3、的点法向式方程的推导 uuurruuurrr设直线l上任意一点Q的坐标为(x,y)，由直线垂直于非零向量n，故PQn.依据PQn的充要条件知PQn=0，即：a(x-x0)+b(y-y0)=0；反之，若(x1,y1)为方程的任意一解，即uuuurra(x1-x0)+b(y1-y0)=0，记(x1,y1)为坐标的点为Q1，可知PQ1n，即Q1在直线l上.综上，依据直线方程的定义知，方程是直线l的方程，直线l是方程的直线. 我们把方程a(x-x0)+b(y-y0)=0叫做直线l的点法向式方程，非零向量n叫做直线l的法向量. r 3、概念深化 从上面的推导看，法向量n是不唯一的，与直线垂直的非零向量都
4、可以作为法向量. 若直线的一个方向向量是(u,v)，则它的一个法向量是(v,-u). 4、例题解析 例1 已知点A(-1，2)，B(3，4)，求AB的垂直平分线l的点法向式方程. 解 由中点公式，可以得到AB的中点坐标为(1,3)，AB=(4,2)是直线l的法向量， 所以，AB的垂直平分线l的点法向式方程.4(x-1)+2(y-3)=0 说明关键在于找点和法向量！ 例2已知点A(1,6),B(-1,-2)和点C(6,3)是三角形的三个顶点，求 （1）BC边所在直线方程； （2）BC边上的高AD所在直线方程. 解（1）由于BC边所在直线的一个方向向量BC（7，5），且该直线经过点B(-1,-2)
5、，所以BC边所在直线的点方向式方程为 -x+1y+2= 75（2）由于BC边上的高AD所在的直线的一个法向量为BC（7，5），且该直线经过点A(1,6)，所以高AD所在直线的点法向式方程为 7(x-1)+5(y-6)=0 、稳固练习 练习11.1（2） （二）一般式方程 1、概念引入 由直线的点方向式方程和点法向式方程，我们可以发觉，平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示；那么每一个关于x,y的二元一次方程ax+by+c=0（a，b不同时为表示一条直线呢？ 2、概念形成 n 直线的一般式方程的定义 0）是否都直线的点方向式方程和直线的点法向式方程经过整理，成为x,
6、y的二元一次方程ax+by+c=0. 反之，任意二元一次方程ax+by+c=0(a,b不全为0)都是直线方程么？答复是确定的.首先，当b0时，方程可化为ax+b(y+)=0，依据直线点法向式方程可知，这是过点(0,-)，以(a,b)为一个法向量的直线；当b=0时，方程为ax+c=0，由于a0，方程化为x=-直线. 所以二元一次方程ax+by+c=0(a,b不全为0)是直线的方程，叫做直线的一般式方程. 、例题解析 例1 DABC中，已知A(-1,2)、B(3,4)，求AB边的中垂线的一般式方程. cbcbcc，表示过点(-,0)且垂直于x轴的aaruuur解 直线过AB中点D(1,3)，n=A
7、B=(4,2)，则其点法向式方程为4(x-1)+2(y-3)=0，整理为一般式方程2x+y-5=0. 说明点法向式方程化为一般式方程. 例2（1）求过点A(-2,5)且平行于直线l1:4x-3y-9=0的直线方程； （2）求过点B(3,-4)且垂直于直线l2:3x+7y-6=0的直线方程. rur解 （1）解一：n=(4,-3),d=(3,4)，又直线过点A(-2,5)，故直线的方程为4(x+2)=3(y-5)化简得4x-3y+23=0. r解二：n=(4-又,3),直线过点A(-2,5)，故直线的点法向式方程为4(x+2)-3(y-5)=0化简得4x-3y+23=0. 解三：设与l1:4x-
8、3y-9=0平行的直线方程为4x-3y+c=0，又直线过点A(-2,5)故4(-2)-35+c=0，c=23，所以直线的方程是4x-3y+23=0. ur（2）解一：l1的法向量n1=(3,7)为所求直线的方向向量，又直线过点B(3,-4)，故直线的方程为7(x-3)=3(y+4)化简得7x-3y-33=0. 解二：设与l2:3x+7y-6=0垂直的直线方程为7x-3y+c=0，又直线过点B(3,-4)故73-3(-4)+c=0，c=-33，所以直线的方程是7x-3y-33=0. 说明一般地，与直线ax+by+c=0平行的直线可设为ax+by+c=0(其中cc)；而与直线ax+by+c=0垂直
9、的直线可设为bx-ay+c=0. 例3能否把直线方程2x+3y+5=0化为点方向式方程？点法向式方程？若能，它的点方向式方程和点法向式纺方程是否唯一？并观看x、y的系数与方向向量和法向量有什么联系？ 解： x+1y+1x+1y+1x+2=、=-323-2-3y+ 13、x+4=y-1 -6422(x+1)+3(y+1)=0、4（x+4）+6(y-1)=0 能够化成点方向式的形式，并且有很多个！ 全部的方向向量之间存在：一个非零实数l，使得d1=ld2=l(3,-2)； 易得点法向式方程也是不唯一的，并且有很多个！ 全部的法向量之间存在：一个非零实数l，使得n1=ln2=l(2,3) 变式：直线
10、ax+by+c=0的方向向量可以表示为l(b,-a) 直线ax+by+c=0的法向量可以表示为l(a,b) 说明留意直线的一般式方程和点方向式方程与点法向式方程的联系. 三、稳固练习 练习11.1（3） 补充练习 1、（1）若直线过两点A(a,0),B(0,b)，则a,b分别叫做该直线在x,y轴上的截距.当ab0时，求直线AB的方程； （2）若过点P(4,-3)的直线l在两坐标轴上截距相等，求直线l的方程. 2、 已知直线l过点P(-2,3)且与x,y轴分别交于A,B两点. uuur（1）若P为AB中点，求直线l的方程；（2）若P分AB所成的比为-2，求l的方程. 3、已知直线l的方程为：(a
11、+2)x+(1-2a)y+4-3a=0(常数aR) （1）求证:不管a取何值，直线l恒过定点； （2）记（1）中的定点为P，若lOP（O为原点），求实数a的值. 4、YABCD中，三个顶点坐标依次为A(2,-3)、B(-2,4)、C(-6,-1)，求（1）直线AD与直线CD的方程；（2）D点坐标. 5、过点P(-5,-4)作始终线l，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5个单位面积，求直线l的方程. 6、已知两直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0都通过P(2,3),求证：经过两点Q1(a1,b1)，Q2(a2,b2)的直线方程是2x+3y+1=0. 四、课堂小结 .直线
12、的点法向式方程和一般方程的推导； 直线的点方向式方程、点法向式方程和一般方程这三种形式方程之间的相互之间的联系. 、确定直线方程的几个要素 五、课后作业 习题11.1 A组5,6,7；B组3，4 习题11.1 A组8 补充作业： 1. 直线3x-y+2=0的单位法向量是_. 2. 直线l的一般式方程为2x-3y+7=0，则其点方向式方程可以是_；点法向式方程可以是_. 3. 过P(4,-3)且垂直y轴的直线方程是_. 4. 若直线(2-m)x+my+3=0的法向量恰为直线x-my-3=0的方向向量，求实数m的值. 5. 已知点P(2,-1)及直线l:3x+2y-5=0，求： （1）过点P且与l
13、平行的直线方程；（2）过点P且与l垂直的直线方程. 6. 正方形ABCD的顶点A的坐标为(-4,0)，它的中心M的坐标为(0,3)，求正方形两条对角线AC,BD所在的直线方程. 7. 已知A,B,C的坐标分别为(1,3),(b,0),(0,c)，其中b,c均为正整数，问过这三点的直线l是否存在？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由. 8. 设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(aR) （1） 证明：直线l过定点； （2） 若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程. 六、教学设计说明 在上一堂课的根底上，通过向量垂直的充要条件（对应坐标的关系式），引导学生自主推导出直线的点法向式方程.
14、 通过对直线与二元一次方程关系的分析，引导学生经受由特别到一般的思维过程，培育学生的探究力量. 其次篇：直线方程教案 .课题导入 师同学们，我们前面几节课，我们学习了直线方程的各种形式，以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之这条直线上的点的坐标都是这个方程的解。这是这个方程叫做这条直线的方程；这条直线叫做这个方程的直线。现在大家回忆一下，我们都学习了直线方程的哪些特别的形式。我们学习了直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式等形式，对直线方程的表示形式有了肯定的熟悉.现在，我们来回忆一下它们的根本形式. 点斜式的根本形式：yy1k（xx1）适用于斜率存在的直线. 斜截式的根本形式：ykxb适用于斜率存在的直线； 两点式的根本形式：直线； 截距式的根本形式： y-y1x-x1（x1x2，y1y2）适用于斜率存在且不为0的=y2-y1x2-x1xy+1（a，b0）适用于横纵截距都存在且不为0的直线. ab在使用这些方程时要留意它们时要留意它们的限制条件。 那么
