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1、几何散布的定义以及希望与方差几何散布（ Geometric distribution）是失散型概率散布。此中一种定义为：在n 次伯努利试验中，试验k 次才获得第一次成功的机率。详尽的说，是：前k-1 次皆失败，第k 次成功的概率。公式：它分两种状况：1. 获得 1 次成功而进行， n 次伯努利实验， n 的概率散布，取值范围为1， 2，3， .;2. m = n-1 次失败，第 n 次成功， m的概率散布，取值范围为0， 1，2， 3， . .由两种不一样状况而得出的希望和方差以下：,;,。概率为 p 的事件 A，以 X 记 A 初次发生所进行的试验次数，则X 的散布列：，拥有这类散布列的随机
2、变量X，称为听从参数p 的几何散布，记为XGeo( p) 。几何散布的希望，方差。高中数学教科书新版第三册（选修II ）比本来的订正本新增添随机变量的几何散布，但书中只给出了却论： （ 1） E1 ，（ 2） D1 p，而未加以证明。本文给出证明，并用于解题。pp2（ 1）由 P(k )q k 1 p ，知Ep2 pq3q2 pkq k 1 p(12q3q 2kq k 1) p下边用倍差法（也称为错位相减法）求上式括号内的值。记Sk12q3q 2kq k 1qSk q 2q2(k)k 1kqk1 q两式相减，得(1q)Sk1qq2qk 1kq kSk1q kkq k(1q) 21q由 0 p1
3、，知 0q1，则 lim q k0，故k1 2 p2k1lim Sk113qkq22k(1q)p进而 E1p也可用无量等比数列各项和公式Sa1 (| q| 1) （赐教科书91 页阅读资料），推导以下：1q记 S12qq 2kq k 13qS q2q2(k)k 11 q相减，(1 q)S 1 q q 2q k 111q则 S11(1q) 2p2还可用导数公式( x n )nx n 1 ，推导以下：1 2 x3x2kxk1x(x 2 )( x3 )( xk )(xx 2x 3x k)(x)(1x)(x)1x(1x) 21(1x) 2上式中令 xq ，则得1 2q 3q2kq k 111(1q)
4、2p2（ 2）为简化运算，利用性质DE 2(E ) 2 来推导（该性质的证明，可见本刊6 页）。可见重点是求E 2 。E 2p22 qp32 q2 pk2 q k 1 pp(122 q32 q 2k 2 q k 1)对于上式括号中的式子，利用导数，对于q 求导： k 2 q k 1(kq k ) ，并用倍差法乞降，有12 2 q32 q 2k 2 q k 1(q2q 23q 3kq k)q2 (1q) 22(1q) qq)(1q)4(11q 21q2 p(1q) 4(1q) 3p3则 E 2p(23p )22p ，所以 DE 2( E ) 2 22p(1) 212pppppp利用上述两个结论，
5、能够简化几何散布一类的计算问题。例 1.一个口袋内装有5 个白球和2 个黑球，现从中每次摸取一个球，拿出黑球就放回，取出白球则停止摸球。求取球次数的数学希望 E 与方差 D。解：每次从袋内拿出白球的概率p5 ，拿出黑球的概率q2 。 的取值为1，2，3，77有无量多个。我们用k 表示前 k 1 次均取到黑球，而第k 次取到白球，所以P(k )q k 1 p(2)k 1 (5)( k1,2,3, ) 。可见听从几何散布。所以77E17p51p1514D57p2225)(7例 2.某射击运动员每次射击击中目标的概率为p（ 0p1）。他有 10 发子弹， 现对某一目标连续射击，每次打一发子弹，直到击
6、中目标，或子弹打光为止。求他击中目标的希望。解：射手射击次数的可能取值为1， 2， 9，10。若k (k1,2, ,9) ，则表示他前k 1 次均没击中目标，而第k 次击中目标；若 k 10，则表示他前9 次都没击中目标，而第10 次可能击中也可能没击中目标。所以的散布列为P(k)(1p) k 1 p( k 1,2, ,9)(1p) 9 (k 10)E1 (1p) 0 p 2 (1 p) p9 (1 p) 8 p 10 (1 p) 912(1p)9(1p) 8 p10(1p) 9用倍差法，可求得1 2(1p)9(1p)81(1p) 99(1p) 91(1p) 21 (1 p)1(1p)99(1p) 9p2p所以 E 1(1p) 99(1p)9 p10(1p) 91 (1 p)10p2pp说明：本例的试验是有限次的，而且P(10)(1p)9 ，不切合几何散布的概率特点，因此随机变量不听从几何散布，也就不可以套用几何散布的有关公式。但求解过程可参照有关公式的推导方法。
