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1、第十七章 分式17.1 分式及其基本性质一 知识点：1.分式的概念：形如(A、B是整式，且B中含有字母（未知数），B0)的式子，叫做分式(fraction).其中A叫做分式的分子(numerator),B叫做分式的分母（denominator）.整式和分式统称有理式（rational expression）. 注意：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没有意义。（分式有意义的条件）2.分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.与分数类似，根据分式的基本性，可以对分式进行约分和通分.3.分式值为零的条件：分子等于零且分母不等于零。二学习过
2、程：1先由分数，整数，有理数的概念引入分式，有理式。（单项式和多项式统称为整式。代数式中的一种有理式.不含除法运算或分数,以及虽有除法运算及分数,但除式或分母中不含变数者，则称为整式）再按教材的思路讲解，并归纳相关的知识点。2. 和学生一起完成课后习题。三例题及习题：教材中的题目。典型例题1.是一个分式么？答：是。虽然可以化成3m的整式形式，但在化简的过程中正是运用了分式的基本性质化简的，另外与3m中的字母的取值也不同习题一（1）当x取什么值时，下列分式有意义？(1);(2) （2）. 要使分式有意义，则.（ ）（A）x (B)x5 (C)x且x5 (D)x或x5（3）. 当a为任意有理数时，
3、下列分式一定有意义的是.（ ）（A） （B） （C） （D）（4）. 当x是什么数时，分式的值是零？解：由分子x+2=0得x=-2而当x=-2时，分母2x-50所以，当x=-2时，分式的值是零习题二一、填空题1.约简公式= .2.a取整数 时，分式(1-)的值为正整数.3.如果x+=3，则的值为 .4.已知x=1+,y=1-.用x的代数式表示y，得y= ；用y的代数式表示x，得x= .5要使代数式的值为零，只须 .6.已知s=,用x、y、s表示q的式子是 .7.两个容积相等的瓶子中装满了酒精和水的溶液，其中一个瓶子中酒精与水的容积之比是p1，另一个瓶子中是q1.若把这两瓶溶液混合在一起，混合液
4、中酒精与水的容积之比为 .二、解答题8.化简分式9.解关于x的方程，其中a+2b-3c0,a、b、c互不相等.10.已知ab=1，证明11.甲的工作效率是乙的2倍，若甲先完成后乙来完成，这样完成工作所用时间比甲、乙两人同时工作晚4天，甲、乙两人单独完成这项工作各需多少天？参考答案【同步达纲练习】一、1. 2.-2或-4 3. 4. 3-2y 5.a=-3 6.q= 7. 二、8.当m0时，且m1时，原式=1+m.当m0时，且m-1时，原式=9.x= 10.提示：将第二个分式的分母中的1换为ab.11.甲单独完成需6天，乙需12天.17.2 分式的运算一 知识点：1.分式的乘除法：分式乘分式，用
5、分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.如果得到的不是最简分式，应该通过约分进行化简.分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。分式乘方的法则：分子的乘方作分子，分母的乘方作分母。2.分式的加减法：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减.二学习过程：1按教材的思路讲解，并归纳相关的知识点。2. 和学生一起完成课后习题。三例题及习题：教材中的题目。分式的运算一、选择题: 1.下列各式计算正确的是( )A.; B.C.; D.2.计算 的结果为( )A.1 B.x+1 C. D.3.下列分式中,最简分式是( )A.
6、B. C. D.4.已知x为整数,且分式的值为整数,则x可取的值有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个5.化简的结果是( )A.1 B. C. D.-16.当x=时,代数式 的值是( )A. B. C. D.二、填空题7.计算 的结果是_.8.计算a2bcd的结果是_.9.若代数式有意义,则x的取值范围是_.10.化简 的结果是_.11.若 ,则M=_.12.公路全长s千米,骑车t小时可到达,要提前40分钟到达,每小时应多走_千米.三、计算题13.; 14.四、解答题15.阅读下列题目的计算过程: =x-3-2(x-1) =x-3-2x+2 =-x-1 (1)上述计算过程,从哪一步开始
7、出现错误?请写出该步的代号:_. (2)错误的原因是_. (3)本题目的正确结论是_.16.已知x为整数,且为整数,求所有符合条件的x值的和.答案一、1.D2.C 解:原式= =3.B 点拨:A的最简结果是-1;C的最简结果是x+2;D易被错选,因为a2+a-2=(a+2)(a-1)易被忽视,故化简结果应为.4.D 解:先化简分式 ,故当x-1分别等于2,1,-1或-2,即x分别等于3,2,0或-1时,分式的值为整数. 点拨:解决此类问题,最关键的是先将分式化成最简形式.5.B 解:原式=.6.B 解:原式= =. 把x=代入上式,得原式=.点拨:此题计算到这一步时,并未结束,还应进一步进行分
8、母有理化, 应引起足够的重视.二、7. 解:原式=.8. 解:原式=.点拨:先将除法统一成乘法后再运算,即简便又不易出错,否则,很容易犯运算顺序的错误.9.x-2,-3和-4 点拨:此题易忽略了“x-3”这个条件,(x+3)虽然是分式 的分子,但是 又是整个算式的除式部分,由于除数不能为零,所以x+30,即x-3.10.-2 解:原式=.11.x2 点拨:将等号右边通分,得 ,比较等号左边的分式 ,不难得出M=x2. 可以在等号两边都乘以(x2-y2)后,化简右边即可.12. 点拨:首先把“40分钟”化为“ 小时”.易列出的非最简形式,应进一步进行化简计算:上式=.三、13.解:原式=. 点拨
9、:计算该题易错将 看成最终结果.强调:进行分式的运算, 要将结果化成最简形式为止.14.解:原式= =.四、15.(1);(2)错用了同分母分式的加减法则. (3). 点拨:等学习了解分式方程之后,步的错更易发生,特别提醒读者,进行分式的运算,每步都要严格遵守法则.16.解:原式= = = =. 显然,当x-3=2,1,-2或-1,即x=5,4,2或1时,的值是整数, 所以满足条件的数只有5,4,2,1四个,5+4+2+1=12. 点拨:显然在原式形式下无法确定满足条件的x的值, 需先经过化简计算才能使问题得到解决,这是解决分式问题常用的做法.17.3 可化为一元一次方程的分式方程一 知识点：
10、1.分式方程：方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程.2. 解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母.在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种根通常称为增根.因此，在解分式方程时必须进行检验.二学习过程：1按教材的思路讲解，并归纳相关的知识点。2. 和学生一起完成课后习题。三例题及习题：教材中的题目。例1解方程 解： （1）方程两边同乘(x-2)，去分母，得3x-5=2(x-2)-(x+1
11、)整理，得x=0检验：当x=0时，x-20x=0是原方程的根。 （2）去分母，两边都乘x(x-1),得6x-(8-2x)=0x=1检验：当x=1时，x(x-1)=0x=1是原方程增根，原方程无解。例2关于x的方程 有增根，则a的值为_。 解：去分母，得ax+1-x+1=0(a-1)x=-2a=-1 例3解方程 思路分析： 解这类问题应将可分解因式的分母分解，便于找出最简公分母，x2-2x=x(x-2),最简公分母为x(x-2) 解：方程两边都乘以x(x-2)，约去分母，得4=2x-(x-2),解这个整式方程，得x=2.检验：当x=2时，x(x-2)=2(2-2)=0所以2是增根，原方程无解。例
12、4解方程 思路分析： 若直接去分母，最简公分母为(x+5)(x+6)(x+7)(x+8)，运算量大，分析各分母x+5、x+6、x+7、x+8，相邻两者间距为 1，可适当分组，再通分求解。 解： 方程两边分别通分，得： (x+8)(x+7)=(x+6)(x+5)， 去括号，得x2+15x+56=x2+11x+30 4x=-26, 例5k为何值时，方程 会产生增根？ 思路分析： 此例类似解分式方程，但不同的是有待定系数k,k的取值决定着未知数x的值，故可用k的代数式表示x。结合增根产生是最简公分母x-3=0时产生的，可建立新的方程求解。解：去分母，得 x-4(x-3)=k, 当x-3=0即x=3时，方程会产生增根。 k=3.例6一小船由A港到B港顺流需行6小时，由B港到A港逆流需行8小时，一天，小船早晨6点由A港出发顺流到B港时，发现一救生圈在途中掉落在水中，立刻返回，1小时后找到救生圈，问：（1）若小船按水流速度由A港漂流到B港要多少小时？（2）救生圈是何时掉入水中的？ 思路分析： 本题的关键是：（1）弄清顺流速度、逆流速度与船在静水中速度和水速的关系；（2）弄清问题中的过程和找出所包含 的相等关系。 解：（1）设小船由A港漂流到B港用x小时，则水速为 由静水速度=顺流速度-水速=逆流速度+水速。
