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1、30.1 二次函数一、 教学目标知识与技能1.经历建立二次函数模型的过程,体会二次函数的意义.2.会确定二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项.3.能根据实际问题中的条件确定二次函数的表达式.过程与方法1.经历从实际问题中建立两个变量之间的二次函数关系的过程,体会数学与生活密切相关.2.通过进一步体验用数学方法描述变量之间的数量关系,提高学生的观察能力、探究能力及归纳总结能力.3.经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体会建立函数模型的思想.情感态度与价值观1.通过对一些实际问题中两个变量之间关系的探究,进一步增强用数学方法解决实际问题的能力.2.让学生经历二次函数概念的形成过程,提高
2、学生分析问题、解决问题及归纳总结的能力.3.通过探索实际问题中数量关系和变化规律的过程,体验数学来源于生活,又应用于生活,提高学生应用数学的意识.二、教学重难点【重点】理解二次函数的意义;能根据实际问题中的条件确定二次函数的表达式.【难点】 经历建立二次函数模型的过程,体验用二次函数表示变量之间的关系.三、教学准备【教师准备】多媒体课件. 【学生准备】预习教材P2627.四、教学过程1、新课导入出示图片:【导入语】如果一种函数的图像就如投出的篮球在空中划过的一条抛物线,我们一定会觉得很有趣.这种函数就是这章要学习的二次函数.设计意图通过欣赏图片,让学生初步感受二次函数的存在以及二次函数的图像是
3、一条抛物线,让学生感受生活中处处有数学,激发学生学习本章的兴趣.思考:1.什么是一次函数、反比例函数?2.如果改变正方体的棱长x,那么正方体的表面积y会随之改变,y与x之间有什么关系?y是x的函数吗?这个函数是我们前面学习过的函数吗?3.我们探究一次函数、反比例函数时的思路是什么?设计意图通过复习一次函数、反比例函数的概念及探究思路,让学生用类比的方法从已有的知识体系中自然地构建出新知识.2.新知构建过渡语我们学习一次函数、反比例函数时,在实际问题中抽象出函数的概念,然后研究它们的图像和性质,并用之解决实际问题,本章将用类似的方法研究一种新的函数二次函数.一起探究(课件展示) 请用适当的函数表
4、达式表示下列问题情境中的两个变量 y 与 x 之间的关系：(1) 圆的面积 y ( )与圆的半径 x ( cm );(2) 某商店1月份的利润是2万元，2、3月份利润逐月增长，这两个月利润的月平均增长率为x，3月份的利润为y；(3) 一个温室的平面图如图,温室外围是一个矩形，周长为120m , 室内通道的尺寸如图,设一条边长为 x (m), 种植面积为 y (m2).【师生活动】学生在教师的引导下,独立思考,小组内交流答案,学生代表回答问题后,教师点评并分析建立函数模型的关键是找等量关系.(板书)1. y =x2)( x的平方）2. y = 2(1+x)2）（1+x的平方）3. y= (60-
5、x-4)(x-2)【师生活动】学生独立思考后,小组讨论,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,小组代表展示讨论结果,教师及时补充并归纳建立函数模型的关键是找等量关系.(教材展示)P26一起探究2题教师引导分析:(1)设第二季度的产值为y万元,则y=.设第三季度的产值为z万元,则z=.(2)y,z都是x的函数吗?它们的表达式有什么不同?【师生活动】学生在教师的引导下思考并回答问题,教师点评并板书.(板书)(1)y=80x+80,一次函数.(2)z=80x2+160x+80,z是x的函数.设计意图通过师生共同探讨,找到实际问题中的等量关系,列出函数关系式,为引出二次函数的概念做好铺垫,同时可提高学生利
6、用方程思想解决实际问题的能力.形成概念思考:(1)这两个函数与我们学过的函数有什么不同?(2)这两个函数的自变量x的最高指数分别是多少?(3)你能说出函数表达式右边的二次项,一次项,常数项及二次项系数,一次项系数吗?(4)通过观察,你能归纳出这种函数的一般形式吗?【师生活动】学生独立思考,小组交流,逐一回答所提问题,教师适时启发,共同归纳二次函数的概念.(课件展示)一般地,如果两个变量x和y之间的函数关系可以表示成y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,且a0),那么称y为x的二次函数.其中,a叫做二次项系数,b叫做一次项系数,c叫做常数项.思考:(1)二次项系数能不能为0?一次项系数和常数项
7、呢?为什么?(2)如何判断一个函数是不是二次函数?(3)二次函数的一般形式与一元二次方程的一般形式有什么关系?(4)函数y=x2+2x+14,y=-54x2+154x+5,y=3x2,y=-12x2+6是不是二次函数?【师生活动】学生独立思考后,小组内合作交流,学生回答问题后,师生共同归纳二次函数的特征:(课件展示)(1)函数表达式的右边是整式形式;(2)自变量的最高指数是2;(3)二次项系数不为0.设计意图通过老师设计的问题串,学生观察、思考、交流,类比已学过的函数,抽象出二次函数的本质特征,归纳出二次函数的一般形式,学生经历概念的形成过程,达到真正理解定义的目的,同时培养学生归纳总结的能力
8、.例题讲解过渡语我们通过实例归纳总结了二次函数的定义,试试能不能解决下列问题.(课件展示)例1(补充)若y=(m+1)是二次函数,则m的值为.【师生活动】学生独立完成后,小组内交流答案,教师讲解分析过程并强调易错点.解:二次函数的自变量x的最高指数是2,m2-m=2,由二次项系数不为0,得m+10,解得m=2.【易错点】常忽略二次项系数不为0.练一练 1.函数 y = （m - 2 ）x 2 + mx - 3（m 为常数）（1）当 m _时，这个函数为二次函数；（2）当 m _时，这个函数为一次函数【师生活动】学生在教师的引导下思考,然后独立完成解答,小组内交流答案,学生展示结果后教师点评.设
9、计意图通过例题加深对二次函数的有关概念的理解和掌握,同时体会在实际问题中建立函数模型,通过等量关系列函数表达式、简单例题的分析与解答,既帮助学生对概念有了完整的认识,又让学生体验到成功的快乐,激发学生学习数学的兴趣.知识拓展1.根据实际问题列二次函数的表达式应注意:(1)正确辨别自变量与因变量;(2)确保找到正确的等量关系;(3)将列出的关系式整理成y=ax2+bx+c(a0)的形式;(4)确保自变量有意义.2.在二次函数y=ax2+bx+c中,必须注意限制条件a0.3.任何一个二次函数都可以化成y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a0)的形式,因此把y=ax2+bx+c(a,b,c为常
10、数,且a0)叫做二次函数的一般式.4.当a0时,y=ax2+bx+c才是二次函数.当a=0时,y=bx+c,若b0,则它是一次函数,若b=0,则y=c是一个常数函数.5.在y=ax2+bx+c(a0)中,x的取值范围是全体实数.6.二次函数y=ax2+bx+c (a0)与一元二次方程有着密切联系,如果将变量y换成一个常数,那么就将其转化成一元二次方程了.3、课堂小结1.二次函数的概念:形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a0)的函数叫做二次函数.2.二次函数满足的条件:(1)函数表达式的右边是整式形式;(2)自变量的最高指数是2;(3)二次项系数不为0.3.二次函数y=ax2+bx+
11、c(a0)中x取任意实数,但在实际问题中要有实际意义.4.根据实际问题写出函数表达式:认真分析题意,找到题目中的等量关系,根据等量关系列函数表达式.五、板书设计30.1二次函数一起探究形成概念大家谈谈例题讲解练一练六、课后作业一、教材作业【必做题】教材第27页习题A组的1,2,3题.【选做题】教材第28页习题B组的1,2题.七、教学反思本节课由实际问题导入新课,引导学生经历问题情景建立数学模型归纳总结的过程,掌握二次函数的有关概念.一起探究实际生活中的函数表达式时,教师把问题设计成问题串的形式,降低学生的理解难度,让学生体验成功的快乐.在探究过程中,给学生提供探索和交流的空间,在小组交流、合作
12、学习中获取知识的形成过程,激发学生的学习兴趣.学生在课堂上学会了与他人合作,学会了探索,提升了分析问题和解决问题的能力.此外,教学中实际问题的解决贯穿整节课,让学生体会建模思想是解决数学问题的重要途径,培养了学生应用数学的意识.本节课经历从实际问题中建立函数模型,形成二次函数的概念,由于前面的学习经历了一次函数、反比例函数概念的形成过程,误认为学生类比前面的探究思路,通过自主学习会掌握二次函数的有关概念,所以在一起探究二次函数的知识形成时,过于急躁,造成概念中的细节问题掌握不牢固,在后边的练习中出错较多,缺乏了学习数学知识的严谨性.所以课堂上要重视探究知识的过程,淡化某个问题的结论.二次函数是一种常见的函数,许多实际问题往往可以建立二次函数的模型加以研究. 在教学中要重视二次函数概念的形成和建构,在概念的学习过程中,让学生体验从问题出发到列二次函数表达式的过程,让学生在探究过程中亲自去“做”,在“做”中感悟这类函数的特征,从而掌握二次函数的概念.在探究过程中给学生交流的时间和空间,培养学生与他人合作的精神,提高分析问题、解决问题的能力.例题的讲解教师要放手让学生思考、交流、展示,让学生成为课堂的主人.
