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1、第三十八讲导数、定积分一课标规定:1.导数及其应用（1）导数概念及其几何意义 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,理解导数概念的实际背景,懂得瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵；通过函数图像直观地理解导数的几何意义。(2)导数的运算 能根据导数定义求函数c，x，y=2,y=x，y=1/x，y=x 的导数； 能运用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简朴函数的导数,能求简朴的复合函数（仅限于形如f(ax+)的导数; 会使用导数公式表。（3)导数在研究函数中的应用 结合实例,借助几何直观摸索并理解函数的单调性与导数的关系；能运用导数研究函数的单调性，
2、会求不超过三次的多项式函数的单调区间; 结合函数的图像,理解函数在某点获得极值的必要条件和充足条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值,以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数措施在研究函数性质中的一般性和有效性。（4）生活中的优化问题举例例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用。(5）定积分与微积分基本定理 通过实例(如求曲边梯形的面积、变力做功等)，从问题情境中理解定积分的实际背景;借助几何直观体会定积分的基本思想，初步理解定积分的概念; 通过实例(如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系）,直观理解微积分基本定理的
3、含义。(6)数学文化收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体规定见本原则中数学文化的规定。二命题走向导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质:单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用,也常常以解答题形式和其他数学知识结合起来，综合考察运用导数研究函数的单调性、极值、最值，估计高考继续以上面的几种形式考察不会有大的变化:(1）考察形式为:选择题、填空题、解答题多种题型都会考察,选择题、填空题
4、一般难度不大,属于高考题中的中低档题,解答题有一定难度,一般与函数及解析几何结合，属于高考的中低档题;(2)高考也许波及导数综合题，以导数为数学工具考察：导数的物理意义及几何意义,复合函数、数列、不等式等知识。定积分是新课标教材新增的内容，重要涉及定积分的概念、微积分基本定理、定积分的简朴应用，由于定积分在实际问题中非常广泛,因而的高考预测会在这方面考察，预测高考呈现如下几种特点：（1）新课标第2年考察，难度不会很大,注意基本概念、基本性质、基本公式的考察及简朴的应用；高考中本讲的题目一般为选择题、填空题,考察定积分的基本概念及简朴运算,属于中低档题;()定积分的应用重要是计算面积，诸如计算曲
5、边梯形的面积、变速直线运动等实际问题要较好的转化为数学模型。三要点精讲1导数的概念函数=（),如果自变量在x处有增量,那么函数y相应地有增量=（x+）-（）,比值叫做函数y=(x)在x到x+之间的平均变化率,即=。如果当时,有极限，我们就说函数y=f（x)在点x处可导,并把这个极限叫做f(x）在点x处的导数,记作f（）或y。即f(x）=。阐明:（1）函数f(x）在点x处可导，是指时,有极限。如果不存在极限，就说函数在点处不可导，或说无导数。（2）是自变量x在x处的变化量，时,而是函数值的变化量，可以是零。由导数的定义可知,求函数y=f（x)在点x处的导数的环节（可由学生来归纳):（1）求函数的
6、增量=f(x）(）;(2)求平均变化率=;(3）取极限，得导数f（)=。导数的几何意义 函数yf(x）在点x处的导数的几何意义是曲线y=f（x)在点p(x，f（x) 处的切线的斜率。也就是说,曲线y=f（）在点p(x,（)）处的切线的斜率是f（)。相应地,切线方程为y-y=f/（x)（x-）。3.常用函数的导出公式 (1）（C为常数) （2） () (4)4两个函数的和、差、积的求导法则法则1:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和（或差),即： (法则2:两个函数的积的导数,等于第一种函数的导数乘以第二个函数,加上第一种函数乘以第二个函数的导数,即：若C为常数,则.即常数与函数
7、的积的导数等于常数乘以函数的导数:法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方:=(v0）。形如y=f的函数称为复合函数。复合函数求导环节:分解求导回代。法则：y|= y u|.导数的应用(）一般地，设函数在某个区间可导,如果,则为增函数;如果,则为减函数；如果在某区间内恒有，则为常数；（2）曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0;曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；(3）一般地，在区间,b上持续的函数f在，b上必有最大值与最小值。求函数在(a，b)内的极值;求函数在区间端点的值(a
8、)、(b)； 将函数 的各极值与（a)、(b)比较,其中最大的是最大值,其中最小的是最小值。6.定积分(1)概念设函数(x）在区间，b上持续,用分点a=x0x1xi1xixn=b把区间a,b等提成n个社区间,在每个社区间xi-1，i上取任一点i（i1,2,n)作和式(i）x（其中为社区间长度）,把n即x0时,和式n的极限叫做函数f(x)在区间a,上的定积分，记作:，即=(）。这里,a与分别叫做积分下限与积分上限，区间a,b叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x）叫做被积式。基本的积分公式:;=(mQ， m-1）；dx=lnC；C；=+C；=sin+C;=cosxC（表中
9、C均为常数）。（2)定积分的性质(k为常数);(其中ac。(3）定积分求曲边梯形面积由三条直线a,x=b(a)，x轴及一条曲线y=f（x)(f()0)围成的曲边梯的面积。如果图形由曲线y1(x），y=(x)（不妨设f1（x)f2()0），及直线x=，x(a)围成,那么所求图形的面积S=S曲边梯形AMB-S曲边梯形DMNC。四.典例解析题型1:导数的概念例1已知s=,（1)计算从3秒到3.1秒 、3.00秒 、3.0001秒各段内平均速度;（2)求3秒是瞬时速度。解析:（1）指时间变化量; 指时间变化量。 。其他各段时间内的平均速度,事先刻在光盘上,待学生回答完第一时间内的平均速度后,即用多媒体
10、出示,让学生思考在各段时间内的平均速度的变化状况。(2)从（1)可见某段时间内的平均速度随变化而变化，越小，越接近于一种定值，由极限定义可知,这个值就是时，的极限，=(+=324(米秒)。例2求函数y=的导数。解析：,，=-。点评:掌握切的斜率、 瞬时速度，它门都是一种特殊的极限，为学习导数的定义奠定基本。题型：导数的基本运算例3.（）求的导数;(2)求的导数；（3)求的导数；(4)求=的导数;(5）求y=的导数。解析：（1）,（）先化简,(3)先使用三角公式进行化简(4）y=；(5)=-x5y=3*（x）x)=3*1+09*(-）=。点评:（1）求导之前，应运用代数、三角恒等式等变形对函数进
11、行化简,然后求导,这样可以减少运算量，提高运算速度,减少差错;()有的函数虽然表面形式为函数的商的形式,但在求导前运用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导.有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量。例4.写出由下列函数复合而成的函数： （1）y=s,u=1+ （)ylnu,ulnx解析:(）=s(1+);（2)y=ln(lx)。点评：通过对y=(x-2展开求导及按复合关系求导,直观的得到.给出复合函数的求导法则，并指引学生阅读法则的证明。题型3:导数的几何意义例5()（06安徽卷）若曲线的一条切线与直线垂直,则的方程为（ )A. B C D(2)(06全国I)过点（-1，）作抛物线的切
12、线，则其中一条切线为( )(A） () （C) （）解析：（1）与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为4，而，因此在(1,1)处导数为,此点的切线为，故选；()，设切点坐标为,则切线的斜率为,且,于是切线方程为,由于点（1,0）在切线上,可解得=0或4，代入可验正对的，选D。点评：导数值相应函数在该点处的切线斜率。例.(1）(6湖北卷）半径为r的圆的面积S(r)r2,周长()=2r，若将r看作（0，)上的变量,则(r2)=r ，式可以用语言论述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R的球,若将R看作(0,+)上的变量，请你写出类似于的式子： ；式可以用语言论述为: 。(2）(湖南卷
13、）曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是 。解析:(1)球,又 故式可填,用语言论述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数。”；（）曲线和在它们的交点坐标是(1,1)，两条切线方程分别是y=-x+2和2-1,它们与轴所围成的三角形的面积是。点评:导数的运算可以和几何图形的切线、面积联系在一起，对于较复杂问题有较好的效果。题型:借助导数解决单调性、极值和最值例7.(1）（0江西卷)对于R上可导的任意函数f（)，若满足（x-1）0,则必有( )f（0)+f（2)2f（1）(）（0天津卷)函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示,则函数在开区间内有极小值点（ ).1个 .2个 C.个 D. 个(3）(全国卷)已知函数。（)设,讨论的单调性;（)若对任意恒有,求的取值范畴。解析：(）依题意,当x1时,f（x)0，函数(x）在(1，)上是增函数；当x1时，f(x)0,f(）在(,1)上是减函数,故f（x)当x=1时获得最小值，即有f（0）f(1)，（2)f（1)，故选C;(2)函数的定义域为开区间,导函数在内的图象如图所示,函数在开区间内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点,只有1个，选。（3):(）f(）的定义域为(,1)(1,+).对f(）求导数得f ()= ax。（)当a2时, (x)= e
