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1、高考圆锥曲线题型之面积最值问题1题型六：面积问题例题8、（07陕西理)已知椭圆C：（ab0）的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为.（）求椭圆C的方程;（）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求AOB面积的最大值。解:(）设椭圆的半焦距为，依题意，所求椭圆方程为.（）设,。（1)当轴时,。(2）当与轴不垂直时，设直线的方程为。由已知，得。把代入椭圆方程，整理得，.。当且仅当，即时等号成立。当时，综上所述.当最大时，面积取最大值。练习1、(07浙江理）如图,直线与椭圆交于A、B两点，记的面积为。（）求在，的条件下,的最大值；(）当时，求直线AB的方程。本题主要考查椭圆的几
2、何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.满分14分.解：（)解：设点A的坐标为,点的坐标为，由，解得，所以当且仅当时,取到最在值1,（)解：由得 设到的距离为，则又因为所以代入式并整理，得解得，代入式检验，.故直线的方程是。练习2、（山东06文)已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形,两准线间的距离为4.()求椭圆的方程；（)直线过点P（0，2)且与椭圆相交于A、B两点，当AOB面积取得最大值时，求直线l的方程.解：设椭圆方程为（I）由已知得 所求椭圆方程为（II）解法一：由题意知直线l的斜率存在，设直线l
3、的方程为,由 消去y得关于x的方程：由直线l与椭圆相交A、B两点,，解得,又由韦达定理得 。原点O到直线l的距离解法1：对两边平方整理得： (） ， 整理得:又,。从而的最大值为,此时代入方程（*）得所以，所求直线方程为: 。解法2：令,则, 。当且仅当即时，此时。所以，所求直线方程为 .解法二：由题意知直线l的斜率存在且不为零。设直线l的方程为，则直线l与x轴的交点由解法一知:且 解法1： 下同解法一解法2： 下同解法一已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆的离心率为,为其焦点，一直线过点与椭圆相交于两点，且的最大面积为，求椭圆的方程.解:由得,所以椭圆方程设为设直线，由 得：设,则是方程的两个
4、根由韦达定理得 所以当且仅当时，即轴时取等号 所以，所求椭圆方程为已知椭圆b的离心率为且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为.斜率为的直线过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M（0，m）。（1）求椭圆的标准方程；(2)求m的取值范围.(3）试用m表示MPQ的面积S，并求面积S的最大值.22。解:（1）依题意可得解得 从而所求椭圆方程为4分（2)直线的方程为由可得该方程的判别式=0恒成立。设则5分可得设线段PQ中点为N，则点N的坐标为6分线段PQ的垂直平分线方程为 令，由题意7分 又，所以08分 （3）点M到直线的距离 于是 由可得代入上式，得即。11分设则而00m0m所以在上单调递增,在上单调递减.所以当时，有最大值13分所以当时，MPQ的面积S有最大值14分
