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1、竞赛中数学归纳法（一）数学归纳法基本形式（1）第一数学归纳法设是一种与正整数关于命题，如果:当（）时，成立；假设成立，由此推得时，也成立，那么，依照对一切正整数时，成立例1 （07江西理22）设正整数数列满足：，且对于任何，有（1）求，； （2）求数列通项解：（1）据条件得 当时，由，即有，解得由于为正整数，故当时，由，解得，因此（2）由，猜想：下面用数学归纳法证明:1当，时，由（1）知均成立；2假设成立，则时由得,由于时，因此，因此又，因此,故，即时，成立由1，2知，对任意，此题在证明时应注意，归纳奠基需验证初始值又两个，即和。（2）第二数学归纳法设是一种与正整数关于命题，如果 当（）时，成
2、立； 假设成立，由此推得时，也成立，那么，依照对一切正整数时，成立例2 已知对任意且，求证：.证：（1）当时，由于且，因此，命题成立；（2）假设时命题成立，即,当时，由于，因此，且，于是，由于，,从而，解得，（舍），即时命题成立.由（1）、（2）知，对一切自然数均有成立.证毕. 这两种数学归纳法，是运用次数较多办法，人们也比较熟悉，在这里就不赘述了。下面简介一下数学归纳法其他形式。（二）数学归纳法其她形式（1）跳跃数学归纳法 当时，成立， 假设时成立，由此推得时，也成立，那么，依照对一切正整数时，成立例3 证明：任一正方形可以剖提成任意个数多于5个正方形.证：（1）对于可按如图进行分割， 假设
3、当成立,当时，只要将其中一种正方形分割为4个正方形，即可得到个正方形.由（1）（2）对一切自然数都成立. 例4求证用面值3分和5分邮票可支付任何n(n)分邮资证明显然当n=8,n=9,n=10时，可用3分和5分邮票构成上面邮资（n=8时，用一种3分邮票和一种5分邮票，n=9时，用3个3分邮票，n=10时，用2个5分邮票）下面假定k=n时命题对的，这时对于k=n+3，命题也对的，由于n分可用3分与5分邮票构成，再加上一种3分邮票，就使分邮资可用3分与5分邮票构成由跳跃归纳法知命题对一切n都成立下面咱们简介双归纳法，所谓双归纳法是所设命题涉及两个独立自然数对(m,n),而不是一种单独自然数n（2）
4、反向数学归纳法设是一种与正整数关于命题，如果对无限各种正整数成立； 假设时，命题成立，则当时命题也成立，那么依照对一切正整数时，成立例4 设都是正数，证明：证：（1）先证明有无限各种正整数，使命题成立.当（对任意时），不等式成立，对用数学归纳法. 当时，即，由于，因此即不等式成立. 假设时成立，即；则当时因而时，不等式成立,故对于（对任意时）命题成立.（2）假定期成立，即，于是当时，有 对此式两边同步次方得,即成立，此为时不等式成立.由（1）、（2）知对一切自然数均有.(3) 螺旋数学归纳法设、是两串与自然数关于命题，如果 命题成立； 对任何自然数，命题成立，则命题成立；若命题成立，则命题成立
5、.那么依照对一切自然数，命题与都成立最后，咱们给出跷跷板归纳法有两个与自然数关于命题An与Bn，若(1)A1成立；(2)假设Ak成立，就推出Bk成立，假设Bk成立就推出Ak+1成立则对一切自然数n，An与Bn都成立A1 B1A2 B2Ak BkAk+1这里咱们只给出一种例子阐明上述归纳法例已知求证证明令， (1)当n=1时，因此A1成立(2)因此A2成立设Ak成立，则即k成立若k成立，则即Ak+1成立由跷跷板归纳法知，一切An和Bn都成立例5 已知数列定义如下：,求证：数列前项和为.证：将命题记作，将命题 记作.（1）当时，有即成立.（2）证假设成立，即有于是故成立.（3）再证假设成立，即有于
6、是 即成立.综上，由螺旋归纳法原理，命题、对一切均成立.（4）二重数学归纳法（两个变量）设命题是与两个独立自然数关于命题，如果对一切自然数成立，对一切自然数成立； 假设和成立时，可推证命题成立则对所有自然数，命题都成立.例6 设满足，其中是正整数，且,求证：.证：（1）由于对于一切正整数与（），成立.即此命题为真. （2）假设成立，即成立.则,则命题成立，由二重数学归纳法知，对任意自然数均有（三）数学归纳法在高考中应用例1 （05江西卷）已知数（1）证明 （2）求数列通项公式an.解：（1）用数学归纳法证明：1当n=1时，命题对的.2假设n=k时有则而又时命题对的.由1,2知，对一切nN时有办
7、法二：用数学归纳法证明：1当n=1时，；2假设n=k时有成立，令，在0，2上单调递增，因此由假设有：即也即当n=k+1时成立，因此对一切.（2）下面来求数列通项：因此 又bn=1，因此.例2 （07湖北卷）已知为正整数，（I）用数学归纳法证明：当时，；（II）对于，已知，求证，求证，；（III）求出满足等式所有正整数解：（）证：用数学归纳法证明：（）当时，原不等式成立；当时，左边，右边，由于，因此左边右边，原不等式成立；（）假设当时，不等式成立，即，则当时，于是在不等式两边同乘以得，因此即当时，不等式也成立综合（）（）知，对一切正整数，不等式都成立（）证：当时，由（）得，于是，（）解：由（）知
8、，当时，即即当时，不存在满足该等式正整数故只需要讨论情形：当时，等式不成立；当时，等式成立；当时，等式成立；当时，为偶数，而为奇数，故，等式不成立；当时，同情形可分析出，等式不成立综上，所求只有解法二：（）证：当或时，原不等式中档号显然成立，下用数学归纳法证明：当，且时，（）当时，左边，右边，由于，因此，即左边右边，不等式成立；（）假设当时，不等式成立，即，则当时，由于，因此又由于，因此于是在不等式两边同乘以得，因此即当时，不等式也成立综上所述，所证不等式成立（）当，时，而由（），（）假设存在正整数使等式成立，即有又由（）可得，与式矛盾故当时，不存在满足该等式正整数下同解法1（四）数学归纳法在
9、组合中应用例1 有64块边长为1正方体木块，每块有一面为红色，别的5面为白色，把这64块立方体放在一种国际象棋盘上（棋盘每格是边长为1正方形，每格上恰放一块），然后将木块“转动”，转动规则是将同一行（或同一列）8个木块同步朝一种方向一起转动.问能否通过有限次转动，把所有木块红色面都转到上面？解：将问题普通化，考虑块木块放入棋盘问题，答案是必定.现用数学归纳法加以证明如下：时，结论显然成立.设时，结论成立.那么时，由归纳假设，左上角位置上可通过有限次转动，使每个木块红色面朝上.再将左方第一列格木块逆时针（向外）旋转，使该列前个木块红色面转到棋盘左侧.这时由归纳假设可通过有限次转动将右上角位置上每
10、个小块红色面朝上，且列转动不影响第一列木块，行转动不变化第一列前行红色面朝左状态.完毕上述转动后，再将第一列顺时针转动，使前行上红色表面朝上.再将上方第一行朝后转动，使第一行红色面朝后方，同上可将下方棋盘中所有方块红色面转到上面，而不变化第一行红色面朝后状态.再将第一行转回使第一行红色面朝上，于是所有棋盘中各小块红色面都朝上，故时结论成立.因而，对任何正整数结论成立，特别时结论成立.例2 设是个元素构成集合，为整数，满足，证明：可将所有子集染成黑色或白色，使下列条件成立：(1) 任何两个白色子集并集是白色； (2) 任何两个黑色子集并集是黑色；(3) 正好存在个白色子集.证：考虑中有个元素普通
11、情形，这时为满足整数，并且设，对用数学归纳法证明.当时，若，则将及都染成黑色，符合题目规定；若，则将染成黑色，染成白色，符合题目规定；若，则将及都染成白色，符合题目规定.设对元集合，及整数，存在满足题目条件（1）（2）（3）染色办法，考虑元集.(1) 若，则由归纳假设，存在一种染色办法将所有子集染成黑色或白色使得满足题目条件（1）（2）（3），这时再将中所具有子集全染成黑色，于是仍满足题目条件.(2) 若，不妨设则由归纳假设知存在子集一种染色办法使满足题目条件（1）（2）且恰有个子集被染成白色，再将中包括所有子集（共个）染成白色，于是题目条件（1）（2）依然满足，且一共有个子集被染成白色，即条件（3）也满足，于是对完毕了归纳证明，特别取便知题目结论成立.
