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1、专题2数列江苏省木渎高级中学潘振嵘【课标要求】1.课程目标通过数列的教学，使学生认识等差数列和等比数列这两种数列模型，掌握它们的一些基本数量关系，感受这两种数列模型的广泛应用，并能利用它们解决一些实际问题通过揭示数列与函数的关系，加深对函数的认识2.复习要求（1）数列：了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊的函数理解数列的通项公式的意义（2）等差数列：理解等差数列的概念；掌握等差数列的通项公式、前n项和的公式，能运用公式解决一些简单问题能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.了解等差数列与一次函数的关系（3）等比数列：理解
2、等比数列的概念；掌握等比数列的通项公式、前n项和的公式，能运用公式解决一些简单问题能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题了解等比数列与指数函数的关系3.复习建议（1）要以等差、等比数列为主，以简单的一般数列、递推数列为辅，重点是等差、等比数列的概念、性质及应用（2）处理等差、等比数列问题时，要充分利用等差、等比数列中的基本量（首项、公差、公比等），同时要重视等差、等比数列性质的灵活运用（3）要注重数列与函数、不等式、平面向量、解析几何等内容的交叉综合（4）要注重化归思想的运用能将一般数列、递推数列化归为等差、等比数列，然后再用等差、等比数列的概念、性质去解题（5
3、）要注重归纳和类比推理能力的培养，从而提高学生观察、比较、分析、综合、抽象和概括的能力（6）要强化数列模型的应用，注意数学语言、普通语言的理解和转化【典型例题】例1（填空题）（1）在数列中，则 解析：由得，是等差数列，（2）在等比数列中，若则的值为_解析：由，且得（3）各项都是正数的等比数列的公比，且成等差数列，则的值为 解析：由题设得，即又，所以故（4）一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则 解析：设该数列的公差为，则依题意有， 得，又，从而有（5）已知数列中，则等于_解析：由题得，于是（6）已知的前n项之和 解析：，则（7）已知数列满足
4、（），且，则的取值范围是_解析：，所以实数的取值范围是（8）某地区有1500万互联网用户，该地区某用户感染了某种病毒，假设该病毒仅在被感染的第1小时内传染给另外2个用户，若不清除病毒，则在第22小时内该地区感染此病毒的用户数为 ()解析：在第22小时内该地区感染此病毒的用户数为（9）在等差数列中，若它的前n项和有最大值，则使取得最小正数的 解析：设等差数列的公差为，则由题设，由可知，且，故，所以n19（10）在数列中，a1=1，an+1=an+c (c为常数，)，且a1，a2，a5成公比不等于1的等比数列，设bn=，则数列的前n项和Sn 解析：an+1=an+c，a1=1，c为常数，an=1+
5、(n-1)c a2=1+c,a5=1+4c又a1，a2，a5成等比数列，(1+c)2=1+4c，解得c=0或c=2当c=0，an+1=an不合题意，舍去 c=2故an=2n-1Sn=b1+b2+bn = = = 例2 已知数列中，（），数列满足（）（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列中的最大项与最小项，并说明理由解：（1），而（），（）数列是等差数列（2）依题意有，而， 函数在（3.5，）上为减函数，在（，3.5）上也为减函数故当n4时，取最大值3，n3时，取最小值-1例3 某个体户，一月初向银行贷款1万元作为开店启动资金，每月月底获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需要交纳所得
6、税为该月利润的10%，每月的生活费开支为540元，余额作为资金全部投入下个月的经营，如此不断继续，问到这年年底该个体户还贷款前尚余多少资金？若银行贷款的年利息为5%，问该个体户还清银行贷款后还有多少资金？（参考数据：结果精确到0.1元）解：设第个月月底的余额为元，则，于是还清银行贷款后剩余资金为答：到这年年底该个体户还贷款前尚余资金元；还清银行贷款后还有资金元例4 已知点列，且与向量垂直，其中c是不等于零的实常数，n是正整数 设，求数列的通项公式，并求其前n项和解：由题意得：垂直， ， 当c=1时， 当c1时， 例5 已知数列是首项为，公比为的等比数列，设，数列满足（1）求数列的前n项和Sn；
7、 （2）若一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围解：（1）由题意知，于是两式相减得： （2），当n=1时，当当n=1时，取最大值是又，即例6 将数列an中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：a1a2 a3a4 a5 a6a7 a8 a9 a10记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，构成的数列为bn,b1=a1=1 Sn为数列bn的前n项和，且满足（n2）（1）证明数列成等差数列，并求数列的通项公式；（2）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数当时，求上表中第k(k3)行所有项的和解：（1）由已知，又，所以，即，所以又，所以数列是首项
8、为1，公差为的等差数列，即所以，（2）设上表中从第三行起，每行的公比都为q，且q0 因为所以表中第1行至第12行共含有数列an的前78项，故 a81在表中第13行第三列，因此又所以 q=2记表中第k(k3)行所有项的和为S，则（k3）【新题备选】1在数列，是各项均为正数的等比数列，设（1）数列是否为等比数列？证明你的结论；（2）设数列，的前项和分别为，若，求数列的前项和解：（1）是等比数列 证明：设的公比为，的公比为，则，故为等比数列（2）数列，分别是公差为和的等差数列由条件得，即故对，于是将代入得，从而有所以数列的前项和为2蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六
9、边形，如图为一组蜂巢的截面图 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以表示第个图的蜂巢总数（1） 试给出的值，并求的表达式（不要求证明）；（2）证明：解：（1） 由于因此，当时，有所以又，所以 （2）当时， 所以3已知分别以和为公差的等差数列和满足，（1）若=18，且存在正整数，使得，求证：；（2）若，且数列，的前项和满足，求数列和的通项公式；（3）在（2）的条件下，令，且，问不等式 是否对一切正整数恒成立？请说明理由解：（1）依题意， 即， ，当且仅当，即时等号成立，等号不成立原命题成立（2）由得，即，解得，（3）在（2）的条件下，要使成立，只要0成立当
10、时，数列单调减；单调增当正整数时，；当正整数时，；当正整数时，则不等式对一切的正整数恒成立同理，当时，也有不等式对一切的正整数恒成立综上所述，不等式对一切的正整数恒成立4已知（其中为中的最小值），若数列的通项公式为（1）求数列的通项公式；（2）已知数列满足，求数列的前项和Sn；（3）求使对一切的恒成立的实数k的取值范围解：（1）由已知得 ，（2）由（1）及可得，Sn（3）当当当故命题恒成立，由知符合题意的k的取值范围为【专题训练】一、填空题1已知等差数列中则n的值为 _ 2在等比数列中，它的前n项和是时，则公比的值为 3已知等差数列的首项是，且从第10项开始比1大，则该等差数列的公差的取值范围
11、是_4数列an中，a1=2，a2=1，则an= 5等差数列的公差且，则数列的前项和取得最大值时的= 6某人为了购买商品房，从2001年起，每年1月1日到银行存入a元一年定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期存款及利息均自动转存为新的一年定期存款，到2008年1月1日（当日不存只取）将所有的存款及利息全部取回(不计利息税)，则可取回的钱的总数为 元7若是等差数列，首项，则使前n项和成立的最大正整数n是 8已知数列，前项和，第项满足，则_ 9设为等差数列的前n项和，若，则= 10依次写出数列：从第二项起由如下法则确定：如果为自然数且未出现过，则用递推公式，否则用递推公式，则 11在数列中
12、，均为正实数，则与的大小关系是 12数列中，若为等差数列，则_13数列满足，则 14已知是等差数列的前n项和，且，有下列四个命题：（1）；（2）；（3） ；（4）数列中的最大项为其中正确命题的序号是_ 二、解答题 15设是一个公差为的等差数列，已知它的前10项和为，且成等比数列 （1）求证：； （2）求公差的值和数列的通项公式 16设数列的前n项和， （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列前n项和 17某企业进行技术改造需向银行贷款，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增
13、加5千元；两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种获利更多？（取） 18已知是公差为的等差数列，它的前项和为, （1）求公差的值； （2）若，求数列中的最大项和最小项的值； （3）若对任意的，都有成立，求的取值范围 19数列满足， （1）求，的值； （2）是否存在一个实数，使得，且数列为等差数列？若存在，求出实数；若不存在，请说明理由； （3）求数列的前项和 20已知二次函数同时满足以下两个条件：不等式的解集有且只有一个元素；在定义域内存在，使得不等式成立设数列的前n项和 （1）求函数的表达式； （2）求数列的通项公式； （3）
