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1、第 1 页（共 16 页）2012 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 A=1 ，2 ，3 ，4 ，5，B=（x ，y） |x A ，yA ，xyA，则 B 中所含元素的个数为( )A 3 B 6 C 8 D 102 （5 分）将 2 名教师，4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有( )A 12 种 B 10 种 C 9 种 D 8 种3 （5 分）下面是关于复数 z=的四个命题
2、：其中的真命题为( ),p1 ： |z |=2，p2 ：z2=2i，p3 ：z 的共轭复数为 1+i，p4 ：z 的虚部为1 .A p2 ，p3 B p1 ，p2 C p2 ，p4 D p3 ，p44 （5 分）设 F1 、F2 是椭圆 E：+=1（ ab0）的左、右焦点，P 为直线 x=上一点，F2 PF1 是底角为 30的等腰三角形，则 E 的离心率为( )A B C D . 5 （5 分）已知an 为等比数列， a4+a7=2 ，a5a6=8，则 a1+a10= ( )A 7 B 5 C . 5 D . 76 （5 分）如果执行右边的程序框图，输入正整数 N（N2）和实数 a1 ，a2
3、， , an ，输出 A，B，则( )A A+B 为 a1 ，a2 ， , an 的和B 为 a1 ，a2 ， , an 的算术平均数C A 和 B 分别是 a1 ，a2 ， , an 中最大的数和最小的数D A 和 B 分别是 a1 ，a2 ， , an 中最小的数和最大的数7 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )第 2 页（共 16 页）A 6 B 9 C 12 D 188 （5 分）等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，C 与抛物线 y2=16x 的准线交于点 A 和点B ， |AB|=4，则 C 的实轴长为( )
4、A B C 4 D 89 （5 分）已知 0，函数 f（x ）=sin( x+）在区间 ， 上单调递减，则实数 的取值范围是( )A B C D （0 ，210 （5 分）已知函数 f（x ）=，则 y=f（x ）的图象大致为( )A .B .C .D .11 （5 分）已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的表面上，ABC 是边长为 1 的正三角形，SC 为球 O 的直径，且 SC=2，则此三棱锥的体积为( )A B C D . 12 （5 分）设点 P 在曲线上，点 Q 在曲线 y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为( )A 1ln2 B C 1+ln2 D . 二填空题：本大题共
5、4 小题，每小题 5 分.13 （5 分）已知向量夹角为 45,且，则 = .14 （5 分）设 x ，y 满足约束条件： ；则 z=x2y 的取值范围为 .15 （5 分）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件 1 或元件 2 正常工作，且元件 3 正 常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布 N （1000 ，502 ），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 .16 （5 分）数列an满足 an+1+(1）nan=2n1，则an的前 60 项和为 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 （1
6、2 分）已知 a ，b ，c 分别为ABC 三个内角 A ，B ，C 的对边， acosC+asinCbc=0（1）求 A；（2）若 a=2，ABC 的面积为；求 b ，c .第 3 页（共 16 页）18 （12 分）某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 10 元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.（1）若花店一天购进 16 枝玫瑰花，求当天的利润 y（单位：元）关于当天需求量 n（单位：枝，n N）的函数解析式.（2）花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：日需求量 n14151617181920频数10201616151
7、31020 （12 分）设抛物线 C：x2=2py（p0）的焦点为 F，准线为 l ，AC，已知以 F 为圆心，FA 为半径的圆 F 交 l 于 B ，D 两点；（1）若BFD=90,ABD 的面积为，求 p 的值及圆 F 的方程；（2）若 A ，B ，F 三点在同一直线 m 上，直线 n 与 m 平行，且 n 与 C 只有一个公共点，求坐标原点到 m ，n 距离的比值.以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.（i）若花店一天购进 16 枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求 X 的分布列、数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花，你认为应
8、购进 16 枝还是 17 枝？请说明理由.19 （12 分）如图，直三棱柱 ABCA1 B1C1 中， AC=BC=AA1 ，D 是棱 AA1 的中点， DC1 BD（1）证明： DC1 BC；（2）求二面角 A1BDC1 的大小.21 （12 分）已知函数 f（x ）满足 f（x ）=f（1）ex1f（0）x+x2；（1）求 f（x ）的解析式及单调区间；（2）若，求（a+1）b 的最大值.四、请考生在第 22 ，23 ，24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.22 （10 分）如图，D ，E 分别为ABC 边 AB ，AC 的中点，直线 DE 交ABC 的
9、外接圆于 F ，G 两点，若 CFAB，证明：（1）CD=BC；（2）BCDGBD .24 已知函数 f（x ）= |x+a |+|x2|当 a=3 时，求不等式 f（x ）3 的解集；f（x ）|x4|若的解集包含1 ，2，求 a 的取值范围.23 选修 44；坐标系与参数方程已知曲线 C1 的参数方程是 ( 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线 C2 的坐标系方程是 =2，正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上，且 A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点 A 的极坐标为（2 ，）.（1）求点 A ，B ，C ，D 的直角坐标；（2）设 P 为 C1 上任意一
10、点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2 的取值范围.第 4 页（共 16 页）第 5 页（共 16 页）2012 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 A=1 ，2 ，3 ，4 ，5，B=（x ，y） |x A ，yA ，xyA，则 B 中所含元素的个数为( )A 3 B 6 C 8 D 10【考点】12：元素与集合关系的判断.【专题】5J：集合.【分析】由题意，根据集合 B 中的元素属性对 x ，y 进行赋值得出 B 中所有元素，即可
11、得出 B 中所含有的元素个数，得出正确选项【解答】解：由题意， x=5 时， y=1 ，2 ，3 ，4，x=4 时， y=1 ，2 ，3，x=3 时， y=1 ，2，x=2 时， y=1综上知， B 中的元素个数为 10 个故选： D .【点评】本题考查元素与集合的关系的判断，解题的关键是理解题意，领会集合 B 中元素的属性，用分类列举的方法得出集合 B 中的元素的个数.2 （5 分）将 2 名教师，4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有( )A 12 种 B 10 种 C 9 种 D 8 种【考点】D9：
12、排列、组合及简单计数问题.【专题】11：计算题.【分析】将任务分三步完成，在每步中利用排列和组合的方法计数，最后利用分步计数原理，将各步结果相乘即可得结果【解答】解：第一步，为甲地选一名老师，有=2 种选法；第二步，为甲地选两个学生，有=6 种选法；第三步，为乙地选 1 名教师和 2 名学生，有 1 种选法故不同的安排方案共有 261=12 种故选： A .【点评】本题主要考查了分步计数原理的应用，排列组合计数的方法，理解题意，恰当分步是解决本题的关键，属基础题3 （5 分）下面是关于复数 z=的四个命题：其中的真命题为( ),p1 ： |z |=2，p2 ：z2=2i，p3 ：z 的共轭复数为 1+i，p4 ：z 的虚部为1 .A p2 ，p3 B
