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1、2012年江苏省高中数学夏令营讲座不等式 吕水庚一些常见的不等式：1算术几何平均值不等式：设则. 当且仅当取得等号。2柯西不等式：设，则。当且仅当取得等号。3排序不等式：设，则 。4车比雪夫不等式：设两个正数序列，（1）若，则（2）若，则典型试题：1不等式0的解集是 ( )A2，3 B.（2，3） C.2，4 D.（2，4）2.已知若，则实数的取值范围是_.3 设 证明不等式 4.函数的值域为。5若，则的最小值是6. 已知不等式对于恒成立，求a的取值范围。7若0a、b、c1满足条件abbcca1，则的最小值是 .【练习1】设，求证：（ “友谊杯”国际竞赛题）【练习2】 若，则【练习3】，并且，
2、则与的大小关系是 。8. 证明不等式(nN*)9. 已知求证：。10.已知中，求证。11求证：。12.已知。求证：。13.若a,b,c均是小于1的正数，求证：+14正数a，b，c，A，B，C满足a+A=b+B=c+C=k，求证：aB+bC+cAk2。【练习】过ABC内一点O引三边的平行线，DEBC,FGCA,HIAB,点D、E、F、G、I都在ABC的边上，表示六边形DGHEFI的面积，表示ABC的面积。求证：。15设，求证：。16设是非负实数，求证：。17设，并问等号成立的充要条件。18已知是两两不等非零自然数列。求证：对任何正整数n有不等式成立。19设均为正数，它们的和是1。求证：。20都是
3、正实数，且。求证：。21设。证明：。22已知是个非负实数，如果。求证：23（1）设3个正实数满足。求证一定是某个三角形的3条边长。（2）设n个正实数满足不等式，其中。求证这些数中任何3个一定是某个三角形的3边长。24设。求证：25设求证：。26在中，证明：27设。证明：。28设均是非负实数且满足。求证：。29设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,cR,a0)满足条件：（1）当xR时,f(x-4)=f(2-x),且f(x)x;(2）当x(0,2)时，f(x)(x+1)/2)2;（3）f(x)在R上的最小值为0.求最大的m(m1)，使得存在实数t，只要x1,m，就有f(x+t)x。30.已知是实数，函数当时，。（1）求证：；（2）求证：当时，；（3）设，当时，的最大值为2，求。31. 设，是实数，且满足，证明不等式.32. 已知，并且，求证：. 33. 设是正实数,且满足,证明: (第41届国际数学奥林匹克试题)34. ，求证：35.（第47届IMO第一天试题3.求最小实数M，使得对于一切实数a,b,c都成立不等式.8
