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1、第二期（2003年8月） 韶关学院学生数学建模论文集 No.2铅球掷远问题的数学模型颜学友，黄兰香，黄旺林1韶关学院2001级数学系数学与应用数学(1)班，广东韶关512005；2 韶关学院2002级计算机系本科(2)班，广东韶关512005摘要：本文综合考虑铅球的受力情况，抓住出手角度、出手速度、出手高度与投掷距离的关系，从解析几何角度考虑铅球的运动方程，进而得出了反映铅球掷远距离与三者函数关系的模型为了得到更为合理的数学模型，我们进一步观察整个投掷过程，将整个过程分为滑步用力阶段和展臂脱手两个阶段再对两个阶段分别进行合理的分析，进一步考虑推力、初速度、加速度、出手速度等因素之间的相互关系，
2、对以上模型进行了改进，得到了更为合理的模型在以上模型的基础上固定出手高度，求出了最佳出手角度为，,其中另外，运用数值极差法和图象分析法，得出了速度的灵敏性高于出手角度关键词：出手速度；出手角度；出手高度；灵敏性1 问题的提出 铅球掷远比赛要求运动员在直径2.135m的圆内将重7.257kg的铅球投掷在的扇形区域内，如右图综合分析铅球的运动过程建2.135m立分别符合以下要求的两个数学模型： 1以出手速度、出手角度、出手高度 为参数，建立铅球掷远的数学模型；2考虑运动员推铅球时用力展臂的动 作，改进以上模型 3在此基础上，给定出手高度，对于不同的出手速度，确定最佳出手角度4比较掷远结果对出手速度
3、和出手角度的灵敏性 2 模型的分析21 模型21.1 模型的假设与符号约定1 忽略空气阻力对铅球运动的影响2 出手速度与出手角度是相互独立的3 不考虑铅球脱手前的整个阶段的运动状态21.2 符号约定v 铅球的出手速度 铅球的出手角度h 铅球的出手高度t 铅球的运动时间L 铅球投掷的距离g 地球的重力加速度()21.3 问题的分析 问题1要求我们以出手速度、出手角度、出手高度为参数，建立铅球掷远的数学模型我们只需求出掷远的距离关于三者的函数关系式这样，我们合理地简化其他影响因素，从物理、数学上得出关系式即可2.1.4 模型的建立与求解铅球出手后，由于是在一个竖直平面上运动我们，以铅球出手点的铅垂
4、方向为y轴，以y轴与地面的交点到铅球落地点方向为x轴构造平面直角坐标系xvhy图(1)这样，铅球脱手后的运动路径可用平面直角坐标系表示，如图(1)因为，铅球出手后，只受重力作用（假设中忽略空气阻力的影响），所以，在x轴上的加速度，在y轴上的加速度如此，从解析几何角度上，以时间t为参数，易求得铅球的运动方程：对方程组消去参数t，得(1)当铅球落地时，即是，代入方程(1)解出x的值对以上式子化简后得到铅球的掷远模型(2)2.1.5 模型的检验以下是我国两名优秀女运动员一次投掷的成绩：运动员出手速度v(m/s）出手高度h(m)出手角度模型一中的L(m)实测成绩L(m)A13.522.0038.692
5、0.2220.30B13.772.0640.0021.2521.41从以上数据，我们可以看出由模型计算的结果与实际投掷距离是比较吻合的但也有一定的误差，这是由于我们忽略了过多的因素，下面我们尽量考虑所涉及到的因素建立模型2.2 模型2.2.1 模型的假设1 忽略空气阻力对铅球运动的影响2 手对铅球的推力是一个恒力3 在铅球脱手前，铅球的运动方向与出手角度一致4 铅球从静止到运动期间运动的路径是直线的5 不考虑运动员的身体素质和心理素质对投掷铅球的影响6 铅球出手瞬间肩部恰在场地边界2.2.2 符号约定v 铅球的出手速度 铅球的出手角度h 铅球的出手高度g 地球的重力加速度()F 手对铅球的推力
6、m 铅球的质量(m=7.257kg) 铅球出手瞬间肩部的高度L 铅球出手后运动的距离 手臂的长度 铅球加速的距离S 铅球投掷的总成绩2.2.3 问题的分析在模型中，我们假设出手速度和出手角度是相互独立的事实上，整个投掷过程包括滑步用力阶段和展臂脱手阶段，（如图(2)）它们是相互联系的所以，模型中假设出手速度和出手角度相互独立是不合理的现在，我们观察以上两个阶段，铅球从A点运动到B点,其运动状态是匀加速直线运动的,加速距离是段且出手高度与手臂长及出手角度是有一定的联系，进而合理地细化各个因素对掷远成绩的约束，改进模型mgmgsinF图(3)图形说明：A点是作好准备，铅球从静止到运动的瞬间；B点是
7、铅球脱手的瞬间；C点是铅球着地点CLha图(2).2.4 模型的建立与求解 在投掷角度为上进行受力分析，如图(3)由牛顿第二定律可得，再由上式可得， (3)又，即 (4)将(3)代入(4)可得， (5) (5)式进一步说明了，出手速度与出手角度有关，随着的增加而减小模型假设出手速度与出手角度相互独立是不合理的又根据图(2),有 (6)由模型,同理可以得到铅球脱手后运动的距离将 (4)、(5)、(6)式代入上式整理，得到铅球运动的距离对上式进行化简：将m=7.257kg, 代入上式，再令 (我国铅球运动员的平均肩高)，代入上式进一步化简得， (7)所以,运动员投掷的总成绩即为模型一般情况下，将代
8、入以上模型，得到关于和的函数关系式(手臂长是常数)为了了解对和的关系，我们令，分别用数学软件MAPLE作出对(令=37.6)和对的图象(令F=350N)供参考：SF图(时)S图(N时)2.3 最佳出手角度的确定给定出手高度，对于不同的出手速度，要确定最佳的出手角度显然，是求极值的问题，根据微积分的知识，我们要先求出驻点，首先，模型一中L对求导得，令,化简后为，根据倍角与半角的三角关系，将以上方程转化成关于的方程，然后得，(3) 从(3)式可以看出，给定铅球的出手高度h，出手速度v变大，相应的最佳出手角度也随之变大 对(3)式进行分析，由于，所以，则所以，最佳出手角度为 是以为周期变化的，当且仅
9、当时，为最佳出手角度特别地，当h=0时（即出手点与落地点在同一高度），最佳出手角度 2.4 参数灵敏性分析2.4.1 数值极差法模型、是铅球掷远的数学模型，运动员最为关心是怎样才能有效地提高掷远成绩，也就是怎样从出手高度、出手角度、出手速度三个自变量中抓住其中的主要因素，提高掷远成绩由于出手高度是没有多大变化的，所以，我们应该从出手角度和出手速度着手找出其中对掷远成绩影响较大的变量也就是比较出手速度和出手角度的灵敏性这里，我们引入数值分析中的极差来比较两者的灵敏性根据我国优秀铅球运动员三个因素的具体情况，我们令米，出手速度在10m/s15m/s之间变化，出手角度在变化用数学软件MATLAB编程
10、得到下表：v L37383940414243极差1011.9812.0112.0312.0412.0412.0212.000.061114.1014.1514.1814.2014.2114.2014.180.111216.4116.4716.5216.5516.5716.5716.560.161318.9018.9919.0519.1019.1319.1419.130.241421.5921.7021.7821.8521.8921.9121.910.321524.4624.6024.7024.7924.8424.8724.880.42极差12.4812.5912.6712.7512.8012.
11、8512.88 从上表可以看出，出手角度在其可能范围内所引起的成绩的最大改变量在0.060.42m之间；出手速度在其可能范围内所引起的成绩的最大改变量在12.4812.88m这表明，出手速度是影响成绩的主要因素，即出手速度的灵敏性高于出手角度的灵敏性2.4.2 图象分析法 极差法从数值上分析了出手角度和出手速度的灵敏性，图象法是从得到的模型出发，观察L关于速度的图象(4)和L关于角度的图象(5) 分析：图(4)和图(5)是根据我国优秀运动员正常情况下投掷时作出的, 图(4)是时，在一个周期内的图象；图(5)是时，v在时的图象图(4)的曲线明显比图(5)的曲线递增要快,几乎任意一点的斜率都要比图
12、(5)中的任意点的斜率要大也就是说，改变等量的L,的变化量比v的变化量要更大换言之，改变少量的v则可以使得L变化较大所以，v的灵敏性较高图(5)图(4)3 模型的优缺点模型以出手速度、出手角度以及出手高度为参数建立的数学模型，通过假设出手速度和出手角度是相互独立的，较为简单地描述了掷远距离与三者的关系缺点是忽略了过多的因素，该模型相对简单且与实际问题有一定距离，不适合精确的计算和要求较高的铅球运动员训练参考模型综合考虑铅球从静止到脱手整个运动过程，将整个过程分成滑步用力阶段和展臂脱手阶段合理地假设铅球脱手前作直线运动，利用出手速度与初速度和出手角度的关系，得出的结果更为合理和精确给定出手高度，
13、对于不同的出手速度，解出了最佳出手角度，这样铅球运动员可以根据不同的出手速度确定最佳出手角度，使投掷距离最远在模型的基础上，对出手速度和出手角度的灵敏性进行了分析，确定了出手速度的灵敏性高于出手角度所以,运动员要提高成绩，应该抓住出手速度这一主要矛盾缺点是数值分析法只能从数值上进行比较，图象分析法是观察图象比较的，较为粗糙参考文献：1 姜启源数学模型(第三版)M北京：高等教育出版社，2003.82 刘来福数学模型与数学建模M北京：北京师范大学出版社，1997.93 王庚实用计算机数学建模M安徽：安徽大学出版社，2000.74 郑永令力学M上海：复旦大学出版社，1989.105 程稼夫力学M北京：中国科学技术大学出版社，1996.3
