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1、新课标必修数学5“解三角形”内容分析及教学建议江苏省锡山高级中学 杨志文新课程必修数学5的内容主要包括解三角形、数列、不等式。这些内容都是高中数学中的传统内容。其中“解三角形”既是高中数学的基本内容，又有较强的应用性。在历次教材改革中都作为中学数学中的重点内容，一直被保留下来。在这次新课程改革中，新普通高中数学课程标准（以下简称标准）与原全日制普通高级中学数学教学大纲（以下简称大纲）相比，“解三角形”这块内容在安排顺序上进行了新的整合。本文就标准必修模块数学5第一部分“解三角形”的课程内容、教学目标要求、课程关注点、内容处理上等方面的变化进行简要的分析，并对教学中应注意的几个问题谈谈自己的一些
2、设想和教学建议，供大家参考。一、标准必修模块数学5中“解三角形”与原课程中“解斜三角形”的比较1课程内容安排上的变化“解三角形”在原课程中为“解斜三角形”，安排在“平面向量”一章中，作为平面向量的一个单元。而在新课程标准中重新进行了整合，将其安排在必修模块数学5中，独立成为一章，与必修模块数学4中的“平面向量”分别安排在不同的模块中。2教学要求的变化原大纲对“解斜三角形”的教学要求是：（1）掌握正弦定理、余弦定理，并能运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解斜三角形的计算问题。（2）通过解三角形的应用的教学，提高运用所学知识解决实际问题的能力。（3）实习作业以测量为内容，培养学生应用数学知识解决
3、实际问题的能力和实际操作的能力。标准对“解三角形”的教学要求是：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。由此可以看出，标准在计算方面降低了要求，取消了“利用计算器解决解斜三角形的计算问题”的要求，而在探索推理方面提高了要求，要求“通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理”。3、课程关注点的变化原大纲中，解斜三角形内容，比较关注三角形边角关系的恒等变换，往往把侧重点放在运算上。而标准则关注运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与
4、测量和几何计算有关的实际问题。侧重点放在学生探究和推理能力的培养上。4、内容处理上的变化原大纲中，解斜三角形作为平面向量知识的应用，突出其工具性和应用性。而标准将解三角形作为几何度量问题来处理，突出几何的作用，为学生理解数学中的量化思想、进一步学习数学奠定基础。解三角形处理的是三角形中长度、角度、面积的度量问题，长度、面积是理解积分的基础，角度是刻画方向的，长度、方向是向量的特征，有了长度、方向，向量的工具自然就有用武之地。二、教学中应注意的几个问题及教学建议 原大纲中解斜三角形的内容，比较关注三角形边角关系的恒等变换，往往把侧重点放在运算上。而标准将解三角形作为几何度量问题来展开，强调学生在
5、已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系，解决简单的三角形度量问题。这就要求在教学过程中，突出几何的作用和数学量化思想，发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的探究过程、再创造过程。因此在教学中应注意以下几个问题。 1要重视探究和推理标准要求“通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理”。因此建议在教学中，既要重视从特殊到一般的探索学习过程的教学，又要重视数学的理性思维的培养。教学中不要直接给出定理进行证明，可通过学生对三角形边与角的正弦的测量与计算，研究边与其对角的正弦之间的比，揭示它们在数量上的规律，发
6、现正弦定理的结论，然后再从理论上进行论证，从而掌握正弦定理。从中体会发现和探索数学知识的思想方法。参考案例：正弦定理的探索、发现与证明教学建议：建议按如下步骤设计教学过程：(1)从特殊三角形入手进行发现 让学生观察并测量一个三角板的边长。提出问题：你能发现三边长与其对角的正弦值之比之间的关系吗？ 例如，量得三角板三内角30，60，90所对的三边长分别约为5cm，8.6cm，10cm，则有： ，对于特殊三角形，我们发现规律：。提出问题：上述规律，对任意三角形成立吗？(2)实验，探索规律 二人合作，先在纸上做一任意锐角（锐角或钝角）三角形，测量三边长及其三个对角，然后用计算器计算每一边与其对角正弦
7、值的比，填入下面表中，验证前面得出的结论是否正确。（其中，角精确到分，边长精确到0.1cm, 结果保留3位有效数字） a b cA BCsinAsinBsinCa ：sinAb ：sinBc ：sinC (3) 得出试验结论忽略测量误差，通过实验， 对任意三角形，有结论：，即在一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等。提出问题：上述的探索过程所得出的结论，只是我们通过实验(近似结果)发现的一个结果，如果我们能在理论上证明它是正确的，则把它叫做正弦定理。那么怎样证明呢？(4)研究定理证明的方法 方法一：（向量法）若ABC为直角三角形，由锐角三角函数的定义知，定理显然成立。若ABC为锐角三角形
8、，过点A做单位向量j垂直于，则向量j与向量的夹角为900-A， 向量j与向量的夹角为900-C，（如图1） ，且有：，所以 j(+) = j 即 j+ j = j展开 |j|cos90+ | j|cos(900-C) =| j|cos(900-A)则得 a sinC = c sinA ， 即 。同理，过点C做单位向量j垂直于,可得：，故有 。若ABC为钝角三角形，不妨设角A900（如图2），过点A做单位向量j垂直于，则向量j与向量的夹角为A -900，向量j与向量的夹角为900-C，且有：，同样可证得：。ACBjACB图1图2j提出问题：你还能利用其他方法证明吗？方法二：请同学们课后自己利用平
9、面几何中圆内接三角形（锐角，钝角和直角）及同弧所对的圆周角相等等知识，将ABC中的边角关系转化为以直径为斜边的直角三角形中去探讨证明方法。2要重视综合应用ABCD例2图标准要求掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。建议在正弦定理、余弦定理的教学中，设计一些关于正弦定理、余弦定理的综合性问题，提高学生综合应用知识解决问题的能力。如可设计下面的问题进行教学：参考案例：正弦定理、余弦定理的综合应用如图，在四边形ABCD中，已知ADCD，AD=10，AB=14，BDA=60，BCD=135 .求BC的长.教学建议：引导学生进行分析，欲求BC，需在BCD中求解，BCD=135，BDC
10、=30，需要求BD，而BD需在ABD中求解.再引导学生将四边形问题转化为三角形问题，选择余弦定理求BD ，再由正弦定理求BC。3要重视实际应用A北东BC例1图标准要求运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。因此建议在教学中，设计一些实际应用问题，为学生体验数学在解决问题中的作用，感受数学与日常生活及与其他学科的联系，培养学生的数学应用意识，提高学生解决实际问题的能力。在题目的设计中要注意对恒等变形降低要求，避免技巧性强的变形和繁琐的运算。参考案例：解三角形在实际中的应用参考案例1航海中甲船在A处发现乙船在北偏东，与A的距离为10海里的C处正以的速度向南偏东的方
11、向航行，已知甲船速度是，问甲船沿什么方向，用多少时间才能与乙船相遇？ECDABF例2图教学建议：引导学生依据题意画出示意图，将实际问题转化为解三角形问题。若设甲船与乙船经过小时在B处相遇， 构建，容易计算出，根据余弦定理建立关于的方程，求出，问题就解决了。答: 甲船沿北偏东的方向，经过0.5小时与乙船相遇.参考案例2为了测量某城市电视塔的高度，在一条直道上选择了A，B，C三点，使，在A，B，C三点观察塔的最高点，测得仰角分别为，若测量者的身高为1.5，试求电视塔的高度(结果保留1位小数).教学建议：引导学生依据题意画出示意图如图，将实际问题转化为解三角形问题。要求电视塔的高度。只要求出DE的长
12、。将问题中的已知量、未知量集中到有关三角形中，构造出解三角形的数学模型。在中和中应用余弦定理，使问题获得解决. 答: 电视塔的高度约为158.3.4要重视研究性学习 解三角形的内容有较强的应用性和研究性，可为学生提供丰富的研究性素材。建议在教学内容的设计上探索开放，在教学形式上灵活多样。可设计一些研究性、开放性的问题，让学生自行探索解决。 参考案例：研究性学习 课外研究题：将一块圆心角为，半径为20厘米的扇形铁片裁成一块矩形，请你设计裁法，使裁得矩形的面积最大?并说明理由教学建议：这是一个研究性学习内容，可让学生在课外两人一组合作完成，写成研究报告，在习题课上让学生交流研究结果，老师可适当进行
13、点评。参考答案：这是一个如何下料的问题，一般有如图（1）、图（2）的两种裁法：即让矩形一边在扇形的一条半径上，或让矩形一边与弦平行。从图形的特点来看，涉及到线段的长度和角度，将这些量放置在三角形中，通过解三角形求出矩形的边长，再计算出两种方案所得矩形的最大面积，加以比较，MBONPA图（1）MBONQA图（2）P就可以得出问题的结论 按图（1）的裁法:矩形的一边OP在OA上，顶点M在圆弧上，设，则：，从而即当时，按图（2）的裁法: 矩形一边与弦平行，设，在中，由正弦定理，得：又，当时，由于，所以用第二中裁法可裁得面积最大的矩形，最大面积为平方厘米也可以建议学生在课外自行寻找研究性、应用性的题目去做，写出研究或实验报告，在学校开设的研究性学习课上进行交流，评价。 参考文献： 全日制普通高中级学数学教学大纲。人民教育出版社。2002年4 月。普通高中数学课程标准（实验）。人民教育出版社。2003年4月第一次印刷。普通高中数学课程标准（实验）解读。严士健张奠宙 王尚志等主编。江苏教育出版社。2004年4月。1
