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1、线性代数第一章 行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：（1）（2）2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：（1）2 4 1 3；（2）1 3 2 4 ；（3）1 3 2.解（1）逆序数为3. （2）逆序数为.（3）逆序数为.3.写出四阶行列式中含有因子的项.解 由定义知，四阶行列式的一般项为，其中为的逆序数由于已固定，只能形如，即1324或1342.对应的分别为或和为所求.4.计算下列各行列式：解(1) =0(2)=(3) = = 5、证明：(1) (2) (3) = (4) 用数学归纳法证明假设对于阶行列式命题成立，即 所以，对于阶行列式命题成立.6、计算下列各行列式（为
2、阶行列式）： (1), 其中对角线上元素都是a, 未写出的元素都是0; 解=an-an-2=an-2(a2-1). (2); 解 将第一行乘(-1)分别加到其余各行, 得 , 再将各列都加到第一列上, 得 =x+(n-1)a(x-a)n-1. (3) (4) 由此得递推公式： 即 而 得 (5)=7.用克莱姆法则解下列方程组：解 9.有非零解？解 ，齐次线性方程组有非零解，则即 , 得 不难验证，当该齐次线性方程组确有非零解.第二章 矩阵及其运算1已知两个线性变换求从变量到变量的线性变换。解 由已知 所以有 2设求及.解 .3计算； 解：. 解：。4设,求.解 ; 利用数学归纳法证明: 当时,
3、显然成立,假设时成立,则时由数学归纳法原理知:.5设求.解 首先观察, 由此推测 (*)用数学归纳法证明: 当时,显然成立. 假设时成立，则时，由数学归纳法原理知: (*)成立.6设都是阶对称阵,证明是对称阵的充要条件是.证明：由已知： 充分性：即是对称矩阵.必要性：.7设, ，问：(1)吗?(2)吗?(3)吗?解 (1), . 则 (2) 但故(3) 而 故 8举反例说明下列命题是错误的:（）若,则;（）若,则或;（）若,且, 则.解 (1)取, ,但(2)取, ,但且(3)取, , . 且 但.9已知线性变换求从变量到变量的线性变换。解：所以即.10求下列方阵的逆阵： 解：, . . 解：
4、 故存在从而 .（3） 解： 由对角矩阵的性质知 .11解矩阵方程： 解： 解：.12、利用逆阵解线性方程组： .解：解、(1)方程组可表示为 故 从而有 .13、设（为正整数）,证明：.证明：一方面， 另一方面，由有 故两端同时右乘就有.14、设, 求.解由可得故.15、设, 其中, 求.解故所以 而 故 .16.设矩阵可逆，证明其伴随阵也可逆，且。证 因=，由的可逆性及，可知可逆，且；另一方面，由伴随阵的性质，有=.用左乘此式两边得=,比较上面两个式子，即知结论成立。17、设阶方阵的伴随阵为,证明: 若,则； .证明 (1)用反证法证明假设则有.由此得.这与矛盾，故当时, 有.(2)由于取
5、行列式得到: 若 则若由(1)知此时命题也成立故有.18.设，求。解 由于所给矩阵方程中含有及其伴随矩阵，因此仍从公式=着手。为此，用左乘所给方程两边，得，又，=2AB-8E=8E=4E.注意到=,是可逆矩阵，且=,于是4=.19、设,求 及及.解 ， 令 , . 则. 故. . . .第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1. 把下列矩阵化为行最简形： 解(下一步: r2-3r1, r3-2r1, r4-3r1. )(下一步: r2(-4), r3(-3) , r4(-5). )(下一步: r1-3r2, r3-r2, r4-r2. ) . 2. 利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆： 解, 故逆
6、矩阵为. (2) 解 故逆矩阵为.3. 设, , 求X使AX=B. 解 因为 , 所以 .4. 求作一个秩是4的方阵，使它的两个行向量.解 用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵: ,此矩阵的秩为4, 其第2行和第3行是已知向量.5. 求下列矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式. 解 (下一步: r1r2. )(下一步: r2-3r1, r3-r1. )(下一步: r3-r2. ), 矩阵的, 是一个最高阶非零子式. 解 (下一步: r1-r2, r2-2r1, r3-7r1. )(下一步: r3-3r2. ), 矩阵的秩是3, 是一个最高阶非零子式.6. 解下列齐次线性方程组： 解
7、对系数矩阵A进行初等行变换, 有A=, 于是 , 故方程组的解为 (k1, k2为任意常数). 解 对系数矩阵A进行初等行变换, 有A=, 于是 , 故方程组的解为 (k1, k2为任意常数).7. 写出一个以为通解的齐次线性方程组. 解 根据已知, 可得 , 与此等价地可以写成, 或 , 或 , 这就是一个满足题目要求的齐次线性方程组.非齐次线性方程组.8 解下列非齐次线性方程组： 解 对增广矩阵B进行初等行变换, 有 B=, 于是,即(k1, k2为任意常数). 解 对增广矩阵B进行初等行变换, 有 B=, 于是 , 即 (k1, k2为任意常数)9. 当l取何值时有解？并求出它的解. 解
8、. 要使方程组有解, 必须(1-l)(l+2)=0, 即l=1, l=-2. 当l=1时, , 方程组解为 或, 即 (k为任意常数). 当l=-2时, , 方程组解为 或, 即 (k为任意常数).10. 设.问l为何值时, 此方程组有唯一解、无解或有无穷多解? 并在有无穷多解时求解. 解B=要使方程组有唯一解, 必须R(A)=R(B)=3, 即必须(1-l)(10-l)0,所以当l1且l10时, 方程组有唯一解.要使方程组无解, 必须R(A)R(B), 即必须(1-l)(10-l)=0且(1-l)(4-l)0,所以当l=10时, 方程组无解. 要使方程组有无穷多解, 必须R(A)=R(B)3
9、, 即必须 (1-l)(10-l)=0且(1-l)(4-l)=0, 所以当l=1时, 方程组有无穷多解.此时，增广矩阵为B, 方程组的解为 ,或 (k1, k2为任意常数).线性代数期中复习答案一、选择题（1）设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0, 其中A,B均为矩阵，现有4个命题： 若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)秩(B)； 若秩(A)秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解； 若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)； 若秩(A)=秩(B)， 则Ax=0与Bx=0同解.以上命题中正确的是(A) . (B) .(C) . (D) . B 【分析】 本题也可找反例用排除法进行分
10、析，但 两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住 与 ，迅速排除不正确的选项.【详解】 若Ax=0与Bx=0同解，则n-秩(A)=n - 秩(B), 即秩(A)=秩(B)，命题成立，可排除(A),(C)；但反过来，若秩(A)=秩(B)， 则不能推出Ax=0与Bx=0同解，如，则秩(A)=秩(B)=1，但Ax=0与Bx=0不同解，可见命题不成立，排除(D),故正确选项为(B). (2) 设阶矩阵的伴随矩阵 若是非齐次线性方程组 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组的基础解系(A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量. B 【
11、分析】要确定基础解系含向量的个数, 实际上只要确定未知数的个数和系数矩阵的秩.【详解】 因为基础解系含向量的个数=, 而且根据已知条件 于是等于或. 又有互不相等的解, 即解不惟一, 故. 从而基础解系仅含一个解向量, 即选(B).（3）设阶矩阵与等价, 则必须(A) 当时, . (B) 当时, .(C) 当时, . (D) 当时, . D 【分析】 利用矩阵与等价的充要条件: 立即可得.【详解】因为当时, , 又与等价, 故, 即, 从而选 (D). 二、填空题（1） 设三阶方阵A,B满足，其中E为三阶单位矩阵，若，则 .【分析】 先化简分解出矩阵B，再取行列式即可.【详解】 由知， ，即 ，易知矩阵A+E可逆，于是有 再两边取行列式，得 ，因为 , 所以 .（2）设矩阵，矩阵B满足，其中为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则 .【分析】 可先用公式进行化简【详解】 已知等式两边同时右乘A，得， 而，于是有， 即 ，再两边取行列式，有 ，而 ，故所求行列式为（3
