第三讲 全等三角形的相关模型【要点梳理】要点一：手拉手模型特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点 结论：〔1〕△ABD ≌△AEC 〔2〕∠α+∠BOC=180° 〔3〕OA平分∠BOC变形： 要点二：角平分线模型特点：由角平分线构成了的两个三角形结论：〔1〕△AFG≌△AEG 〔2〕FG=GE变形： 要点三：半角模型特点： 结论：〔1〕MN=BM+DN 〔2〕△CMN的周长=2AB 〔3〕AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM变形：要点四：等腰直角三角形模型1.在斜边上任取一点的旋转全等操作过程：〔1〕将△ABD逆时针旋转90°，使△ACM≌△ABD，从而推出△ADM为等腰直角三角形〔2〕过点C作BC⊥MC，连AM导出上述结论2.定点是斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等操作过程：连AD. 〔1〕使BF=AE〔或AF=CE〕，导出△BDF≌△ADE〔2〕使∠EDF+∠BAC=180°，导出△BDF≌△ADE3.将等腰直角三角形补全为正方形，如下列图： 要点五：双垂直模型特点：图形中包含两条垂线，且有一组边或角相等。
结论：假设AD=BD,那么BH=AC变形： ∠1=∠2，那么AE=AF ∠1=∠2， ∠BAP=∠DAP，那么AE=AF，AP⊥CF要点六：三垂直模型特点：图形中包含三条垂线，且有一组边结论：〔1〕△ABE≌△BCD 〔2〕 ED=AE-CD变形：要点七：全等三角形问题中常见的辅助线的作法1.遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一〞的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折〞法构造全等三角形2.遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转〞 法构造全等三角形3.遇到角平分线：〔1〕可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线；〔2〕可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形；〔3〕可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形以上利用的思维模式是全等变换中的“对折〞法构造全等三角形4.过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移〞或“翻转折叠〞5.截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。
6.某线段的垂直平分线，可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，形成一对全等三角形7.在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答典型例题】例1〔手拉手模型〕：如图，点C 为线段AB 上一点，△ABC、△CDE 是等边三角形，请你证明：〔1〕AD=BE 〔2〕∠ACB=∠AOB 〔3〕△PCQ为等边三角形 〔4〕PQ∥AE 〔5〕AP=BQ 〔6〕CO平分∠AOE 〔7〕OA=OB+OC 〔8〕OE=OC+OD 例2〔角平分线模型〕：如图，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AP平分∠BAC举一反三：1、如图，在四边形ABCD中，BC>AB，AD=CD，BD平分BAC，求证∠A+∠C=180°2、如图，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于F求证：3、△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ例3〔半角模型〕：在正方形ABCD中，假设M、N分别在边BC、CD上移动，且满足MN=BM +DN，求证：①∠MAN=45°；②△CMN的周长=2AB；③AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM举一反三：1、 在正方形ABCD中，∠MAN=45°，假设M、N分别在边CB、DC 的延长线上移动：①试探究线段MN、BM 、DN之间的数量关系；②求证：AB=AH. 2、在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，AB=AD，假设E、F分别在边BC、CD且上，满足EF=BE+DF.求证：例4〔等腰直角三角形模型〕： 等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，点M、N在斜边BC上滑动，且∠MAN=45°，试探究BM、MN、CN之间的数量关系。
举一反三：1、两个全等的含30°、60°角的三角板ADE和三角板ABC，如下图放置，E、A、C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME、MC，试判断△EMC的形状，并证明你的结论2.如图，在等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB =90°，P为△ABC内部一点，满足PB=PC，AP=AC求证：BCP=15°例5(双垂线模型)：如右图，△ABC中，∠ABC =45°，AC=4，H是高AD和BE的交点，那么线段BH的长度为 举一反三：1、如图14-1，在△ABC中，BC边在直线L上，AC⊥BC,且AC=BC△EFP的边FP也在直线L上，边EF与AC重合，且EF=FP.(1)猜测并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；〔2〕将△EFP沿直线L向左平移至图14-2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP、BQ，那么BQ与AP满足什么样的数量关系和位置关系，请猜测并证明；〔3〕将△EFP沿直线L向左平移至图14-3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP、BQ，你认为〔2〕中所猜测的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？例6〔三垂线模型〕：如下图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC =90°，D为AC中点，AF⊥BD于E，交BC于F，连接DF.求证：∠ADB=∠CDF. 举一反三：1、 如下图，在△ABC中，AB=AC，AM=CN，AF⊥BM于E，交BC于F，连接NF.求证：①∠ADB=∠CDF； ②BM=AF+FN 2、如下图，在△ABC中，AB=AC，AM=CN，AF⊥BM于E，交BC于F，连接NF，并分别延长 BM和FN交于点P.求证：①PM=PN； ②PB＝PF+AF【稳固练习】1、 如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，BC=CD，，求证：AC平分BAD.2、如图,AB＞AC，∠A的平分线与BC的垂直平分线相交于D，自D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：BE=CF．3、如下图，在△ABC中，BC边的垂直平分线DF交△BAC的外角平分线AD于点D，F为垂足，DE⊥AB于E，并且AB>AC。
求证：BE－AC=AE4、如图，D、E、F分别是△ABC的三边上的点，CE=BF，且△DCE的面积与△DBF的面积相等，求证：AD平分∠BAC5、如图，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D， CE垂直于BD，交BD的延长线于点E求证：BD=2CE6、如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC于D，且AB=AD, 作CM⊥AD的延长线与M，求证：7、如图，在△ODC中，∠D=90°，CE是∠DCO的角平分线，且OE⊥CE，过点E作FF⊥OC交OC于点F，猜测：线段OD与EE之间的关系，并证明 8、如图， BD、C E分别是△ABC的外角平分线，过点A作AD⊥BD,AE⊥CE, 垂足分别是D、E，连接DE.求证：〔1〕DE∥BC，且〔2〕假设BD、CE分别是△ABC的内角平分线〔如图2〕，其他条件不变，那么线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？〔3〕假设BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线〔如图3〕，那么线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？9、如图，在△ABC中，AD是BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比拟 PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由。
10.如图，Rt△ABC 中，AB=AC，∠BAC =90°，O为BC中点，假设M、N分别段AC、AB上移动，且在移动中保持AN=CM. 〔1〕判断△OMN的形状，并证明你的结论. (2)当M、N分别段AC、AB上移动时，四边形AMON的面积如何变化？11. 在正方形ABCD中，BE=3 ，EF=5 ，DF=4 ，求∠BAE+∠DCF=?13. 如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB =2∠ABC，P为△ABC内部一点，满足PB=PC，AP=AC求证： ∠2 =2∠114.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=AD，假设 E、F分别在边BC、CD上的点，且 求证：EF=BE +DF.15. 如图AD∥BC，△ABE和△CDF 是等腰直角三角形，∠EAB=∠CDF=90°，AD=2，BC=5，求四边形AEDF的面积。