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1、第 2 讲 奇穿偶回知识提要定义:已知x0是连续函数f (x)的零点，存在实数5 0，设I二(x0-8,x0 +8),对于任意 x e I，函数f (x)在区间I上的函数值均同号(图象位于x轴同侧)，则称函数f (x)的图像在 零点xo处呈现“回”的现象，如图2-1所示,若函数f (x)在区间(xo-5 ,x0)上的函数值异号，则 称函数f (x)的图象在零点xo处呈现“穿”的现象，如图2-2所示.情形一若函数f (x)为多项式函数，且f (x)二(x - x)n - g(x) (g(x)不含因式x- xj,若 n是偶数(称xi是函数f (x)的偶重零点)，则函数f (x)的图象在零点xi处呈
2、现“回”的线性若 n是奇数(称xi是函数f (x)的奇重零点)，则函数f (x)的图象在零点xi处呈现“穿”的现象.情形二:设函数f (x) = h(x) - g(x), xo是函数h(x)是=重零点，是函数g(x)的n2重零点.若 n +n 是偶数,则函数 f(x) 的图象在 x 处呈现“回”的现象,反之则图形在 x 处呈现12oo“穿”的现象.图例:零点 1 处图象“回”零点 2 处图象“穿”零点 0处图象“回”零点 1处图象“穿”零点 1 处图象“回” 零点-1 处图象“穿” 小结： 奇“穿”偶“回”.例题精讲【题目1】已知e为自然对数的底数,设函数f (x)二(ex -1)(x-1)k
3、(k = 1,2)，则 ()4当k = 1时,f (x)在x = 1处取极小值 B.当 k = 1时,f (x)在x = 1处取极大值C.当k = 2时,f (x)在x = 1处取极小值B.当 k = 2时,f (x)在x = 1处取极大值解:当k=1时，f (x) = (ex -1)( x -1),画出草图如图2-6,不符合题意 当k = 2时,f (x) = (ex -1)(x -1)2，画出草图如图2-7，显然f (x)在x = 1处取到极小值，选C.【题目2】已知函数f(x) = cosxsin2x,下列结论错误的是()兀a. y = f (x)的图象关于点S ,0)成中心对称b. y
4、 = f (x)的图象关于直线x =对称C.f (x)的最大值为亍D. f (x)既是奇函数,又是周期函数解:因为f (x) = 2cos2 xsin2x，画出函数图像，如图2-8，则显然f (x)的最大值为才是错误 的 , 故选 C./Vh v x图2-8注:令 sinx = t，则 f (x)二 2t(l-t2)，因为广(x)二 2- 6t2 二 0，解得 t = 3-，易知当 t =汽时,f (x)9max9【题目3】设ab g人,若x 0时恒有0 x4 - x3 + ax + b (x2 -1)2侧ab =解设 y 二 0, y 二 x4 - x3 + ax + b, y 二(x2 -
5、1)2.123因为y1 y2 y3，即函数y2的图象位于函数y1和y3之间,又因为y1和y3同时经过(1，0)，所以函数y2的图象必须经过点(1,0)，即a + b = 0，且在零点1处应该呈现“回”的形态，也就是说零点1应该是函数歹2的偶重零点.若1是y2的2重零点，因为y2二(x 1)(x2 + a)所以1是x2 + a的零点，即a = -1，代回 检验满足条件，所以a = -1.若1是y2的4重零点，则必须有y2二(x-1)4,这显然是不可能的.综上,a = 一1, b = 一1 所以 ab = -1【题目 4】已知函数f (x)二 x3 + ax2 + bx + c ,且0 f (-1
6、) = f (-2) = f (-3) 3 ,则B. 3 c 6C.6 c 9()aJA Mf-s -1O Xf囲 2-10A. c 3解:设 f (x) = (x +1)(x + 2)(x + 3) + k ,根据 f (0) = c ,比较常数项可知k二c - 6根据“奇穿偶回”可以画出f (x)的大致图象(如图2-10)，只不过这里曲线穿过的不是x轴，而是直线y=f(-1)=k，即图象往上作了平移，根 据图象0 c - 6 3懈得6 c 9，故选C.【题目5】设函数f(x)= (x一a)2lnx,a g R.(1)若x二e为y = f (x)的极值点,求实数a(2)求实数a的取值范围,使
7、得对任意的x g (0,3e，恒有f (x) 4e2成立.解:(1)由题意得 f(x) = 2( x - a )ln x + 心=(x - a )(2 ln x +1 -)xx因为x = e是f (x)的极值点.所以广(e)= (e a)(21n e +1) = 0e所以a=e或a=3e,经检验，符合题意.当a 1时,可以先画草图，如图2-11所示,易知当0 v x 1时,y 0；当1 x 0且单调递增，所以只需要满足f (3e) 4e2即可，-解之得一乔厂_叮:3e - ?e a 1时,可以先画草图,如图2-12所示,由(1)知函数的极大值点xo是方程2lnx +1 - = 0 的根卩：a
8、= 2x Inx + xx000只需要满足:f (x ) = (x - a)2 ln x 4e2 ( 1) 000f (3e) = (3e - a)2 1n(3e) 4e 2 (2)将 a = 2x ln x + x 代入(1)得 4x 2 ln3 x 1，且函数y = x2 ln3 x在1,+s)内单调递增，故1 0 1在(L,+s)内单调递增，可得1 a 3e ,- 2e-2e由得3e 一帀 3e +両，所以3e -2e.ln Ge ) a 3e综上，a的取值范围为3e-韦吕 a 0，贝 y a =1. 若不等式(2ax - 1)ln x 0对任意x 0恒成立，则a =2. 设 a g R
9、，若 x 0 时均有 Ka 1)x 1(3.若不等式Cx + 3)C2 - b ) 0对任意的x g(0,+s)恒成立，则()A. ab2 = 9 b. a2b = 9,a 0 C. b2 = 9a D.b = 9a2,a 0时，f (x) 0，则实数a的取值范围为( )A. - 2 至 a 至 0 B. - 2 至 a 至 0 c. a 一1 D. 0 至 a 至 15已知实数a是给定的常数，设函数f (x)=(% - a(x + b)ex,b g R, x二a是f (x)的一个极 大值点.()设x , x , %是f (x)的3个极值点，问是否存在实数b，可找到x g R，使得1 2 3
10、4x ,x ,x ,x的某种排列x，x ，x ，x (其中,i ,i ,i,2,3,4)依次成等差数列？1 2 3 4i1 i2i3i41 2 3 4若存在，求所有的b及相应的x ；若不存在，说明理由。4第 3讲 以值代参知识提要与二次函数零点有关的一类问题，比如：“设f (x)= x2 + ax + b区间D上有两个零点， 求3a + b的取值范围”，可以根据条件“区间D上有两个零点”构造一个关于a,b的不等式组， 即构造一个可行域，再将3a + b看作目标函数，用线性规划来求解，这是一个通法，但是费 时费力，效果不好。如果我们换一个角度，将3a + b与函数值f(3)= 9 + 3a +
11、b建立联系，用函数值来代替参数式，称之为“以值代参”，再根据韦达定理，用函数零点x，x来表示参数a,b，则问题12 豁然开朗.例题精讲【题目1】设函数f (x)= x2 + ax + b(a,b g R)，记M为y = |f (x)在L 1,1上的最大值,N为|a| + |b|的最大值.A.若MC.若 M 二 2， 解：|a| + |b| =则N = 3 max fa + b, a 一 bB.若 M = *D.若 M = 3，则 N = 3= max If G-1，| f (-1)-1 max1/ Si f (- M+1 M +1所以当M = 2时，则N = 3 .故选C.【题目2】若 f(x
12、) = x 2 + ax + b(a,b g R)在(0,1)内有两个零点，则a2-2b的取值范围是,解：设函数f(x)在S)内的零点为x1，3,所以 f O= x2 + ax + b = (x一 x )(x一 x )，其中 x， x g (0,1),1 2 1 2所以a = -(x + x )12b=xx12则 a2 一 2b = (x + x )2 一 2x x = x2 + x2 g (0,2).1 2 1 2 1 2【题目 3】已知函数 f(x)= ax2 + bx + c(a, b, c g R),且 a 丰 0 .记 M (a, b, c)为 |f (x)在S)上的最大值，则磊的最
13、大值是解：因为 f(0)= c,fG)= a + b + c，所以 a + b + 2c = f(0)+ fG).由题意知f (x) M (a, b, c)，故 f (0) M (a, b, c)，f (1) M (a, b, c)，即一M(a,b,c) f(0) M(a,b,c), -M(a,b,c) f G) M(a,b,c)，所以a+b+2c= f(0)+ f(1)2M(a,b,c)a + b + 2 c所以 M(a,b,c) .【题目4】已知b, c g R，二次函数f (x )= x2 + bx + c在(0,1)内与x轴有两个不同的交点，求c2 +G + b 1的取值范围.解：设
14、f 0= x2 + bx + c = (x一 x )(x一 x )，其中 x ,x g 6,1),且 x 丰 x，从而1 2 1 2 1 2c2 + (1 + b)c = f (0)f (1)= tx (1 一 x )Ix (1 一 x )g1 1 2 20丄 I 16 丿.题目5】设函数 f(x)= x 2 + ax + b(a, b g R)(1)当b =普+1时，求函数f (x)在L 1,1上的最小值gC)的表达式;(2)已知函数f G)在L 1,1上存在零点，且0 b 2a 1，求b的取值范围.解：(1)当 b =晋 +1 时，f (x )=a )2 x + 2丿+1，其图象的对称轴为直线x = * .当 a 2 时，g (a)= f (1)=+ a + 2；当2 a 2时,综上，g (a)=+ a + 2, a 2, 41,2 a 2a 2_
