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1、金太阳新课标资源网 第36届国际数学奥林匹克试题1（保加利亚） 设A、B、C、D是一条直线上依次排列的四个不同的点，分别以AC、BD为直径的圆相交于X和Y，直线XY交BC于Z。若P为XY上异于Z的一点，直线CP与以AC为直径的圆相交于C和M，直线BP与以BD为直径的圆相交于B和N。试证：AM、DN和XY三线共点。 证法一：*设AM交直线XY于点Q，而DN交直线XY于点Q（如图95-1，注意：这里只画出了点P在线段XY上的情形，其他情况可类似证明）。须证：Q与Q重合。由于XY为两圆的根轴，故XYAD，而AC为直径，所以QMC=PZC=90进而，Q，M，Z，B四点共圆。同理Q，N，Z，B四点共圆
2、。这样，利用圆幂定理，可知QPPZ=MPPC=XPPY，QPPZ=NPPB=XPPY。所以，QP= QP。而Q与Q都在直线XY上且在直线AD同侧，从而，Q与Q重合。命题获证。分析二*如图95-2，以XY为弦的任意圆O，只需证明当P确定时，S也确定。证法二：设X（0，m）,P（0，y0），PCA=，m、y0是定值。有，则因此，AM的方程为令，即点S的位置取决于点P的位置，与O无关，所以AM、DN和ZY三条直线共点。2（俄罗斯）设a、b、c为正实数且满足abc=1。试证： 证法一：*设，有于是， 原不等式成立。背景资料：陕西省永寿县中学安振平老师在证明不等式的若干代换技巧一文中运用“增量代换”给出
3、证法一，还用增量代换法给出第 6届IMO试题的证明。什么是增量代换法？由称为增量。运用这种方法来论证问题，我们称为增量代换法。 题1 设是某一三角形三边长。求证： （第6届IMO试题）证明 不失一般性，设 原不等式成立。同时，安振平老师用二元代换法给出第25届IMO试题的证明。什么是二元代换法？若运用这种方法来论证问题，我们称为二元代换法。题 2 已知求证：（第25届IMO试题）证明 不妨设另一方面，令还有，安振平老师用对称代换法给出了第24届IMO试题的证明。什么是对称代换法？任意三个正实数构成某一三角形三边的充要条件是存在着三个正实数用这种方法来处理问题，我们称为对称代换法。题3 设是三角
4、形的边长，求证：（第24届IMO问题）证明 设是原不等式等价于原不等式成立。分析二*此题初看起来，左边为反序和，得不出“”的结果，但我们可先从条件abc=1入手将原式变形。证法二：记左边为S，则可知S为顺序和。由排序式 两式相加，有 背景资料：湖北省麻城市一中甘超一老师在应用排序不等式的方法一技巧一文中给出了上述证明。他还运用排序不等式方法给出了第17届IMO试题、第20届IMO试题的证明。什么是排序不等式？排序不等式是：设有两个有序数组：的任一排列，则有（顺序和）（混序和）（逆序和）式中的等号，当且仅当常可简述为：顺序和混序和逆序和。证明：令由命题得所以 同理可证 排序不等式被称为某些著名不
5、等式的共同来尖，用它可证明算术一几何平均不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式及其他更一般的不等工。有兴趣的读者，可参阅匈牙利奥林匹克数学竞赛题解（科学普及出版社，1979年）第150页。还可以根据排序不等式来证明第17届IMO试题和第20届IMO试题*题1 （第17届IMO试题）求证：如果的任一排列，则证明：因为又因为，故要证的不等式等于上式左边是顺序和，右边是混序和，由排序不等式可知上面不等式成立，从而原不等式获证。题2 （第20届IMO试题）已知为任意两两各不相同的正整数。求证：对任何正整数，下列不等式成立： 证明：设的一个排列，由于，所以根据排序不等式有，（混序和逆序和）即因为于是 从而得
6、 甘肃省临泽第一中学魏正清老师对于本题给出了九种证明方法*（证法三第十一个证法十一）证法三 利用柯西不等式的推论：得于是证法四 利用柯西不等式的推论：得证法五 利用权方和不等式的推论：得证法六 利用均值不等式的推论：令得证法七 利用著名的切比雪夫不等式：若或不妨设于是证法八 构造二项平方和函数构造 因为于是即证法九 从对称不等式等号成立出发证明，原不等式等价于注意到当且仅当得同理三式相加得证法十 由对称性引入正参数，由于三式相加得用与前三个不等式取等号的条件联立解得，把它代入上式从而得证法十一 构造向量的内积证明，设 向量 因 所以 而 因此证法十二*：注意到利用此式可发现下面的证明。由Can
7、chy不等式，可知而命题获证。背景资料：柯西（Cauchy）不等式设其中等号当且仅当时成立。这个不等式也可记作 柯西不等式有多种证明方法，下面介绍江苏宿迁市教委张延卫老师的证法。*证明 记 所以因此不等式成立。联想：利用cauchy不等式证明设个实数求证：对任意整数存在个不全为零的整数 （第28届IMO试题）证明：由柯西不等式易证：所以 于是把区间由于根据抽屉原则，总有两个数落在同一小区间内。令则 浙江省杭州市外国语学校李惟峰老师应用Abel变换给出了本题一个全新的证法。证法十三*：原不等式等价于又因为 即只须证 由对称性，不妨设 记 且 故原不等式成立。由以上例子可以看出，用Abel变换证明
8、不等式，往往先对不等式进行适当的变形，使之能构造出Abel变换所需的两组数列，并使满足其中的一组数列的部分和的取得范围容易估计；另一组数列的相邻两项的差的符号容易判定。背景资料：什么是Abel变换？李惟峰老师给出介绍，并用Abel变换证明了钟开莱不等式和第20届IMO试题。设数列为任意两个数列，且 （1） （1）式称为Abel和差变换公式。在（1）式中令 （2）式称为Abel分布求和公式或Abel变换。题1 （钟开莱不等式）设则必有 （钟开莱不等式）证明 记得由Abel变换有 再由柯西不等式得即 题2 （第20届IMO试题）已知为任意两种各不相同的正整数。求证：对任意的正数数，下列不等式成立：
9、 （第20届IMO试题）证明 记为互不相同的正整数，故则由Abel变换得 当且仅当时取到等号。背景资料：首都师范大学石长地老师、河北省河间市三中左书可老师给出了安振平老师对于36IMO第2题的推广的证明。*“这道貌似平常的问题不可等闲视之，参赛的412名选手中竟有300人得0分，栽在此题上。”（见文1）安振平在文2中指出：此题源于1963年莫斯科竞赛题：设为正数，则 和1988年“友谊杯”国际数学竞赛题：设为正数，则 、详证（见文2），并将此题推广为：设则： 他最后提出的下界问题，但未能给出其下界。本文对进行再推广，并给出的一个下界。命题 设则： 为证命题先给出：引理 设则：证明 （1）当代入
10、，即有 （2）当时，窦家俊在中等数学1990年10期给出证明，详见该文，为省篇幅本文从略。综合（1）、（2），引理得证。现证命题：设 依引理有代入上式有： 命题得证。显然即上述命题取时的特例，依命题取，易得： 注：1第36届IMO试题解答：中等数学，95-5。 2安振平，第36届IMO第二题的思考，中学数学教学参考，95-11。湖南省武冈市第十中学邓集春老师用单调函数一个性质给出了本题的一个论证方法。证法十四*：利用，可把原不等式化为记上是增函数，所以，对任意的，恒有 由此易得 由、，可把上式中分别换成、，再将所得的3个不等式相加，得 背景资料：单调函数的一个性质是指：由单词函数的定义，易知它
11、有如下性质：若函数在区间D上是增函数（减函数），则对于任意的、，恒有 这一性质往往被忽视。笔者发现，通过构造单调函数，再利用此性质，可巧妙证明一类较难的分式不等式竞赛题，且证法新颖简洁。题1 设、都是正数，证明： （1963，莫斯科数学竞赛）证明：记因为该函数在（0，S）上是增函数，由前面性质知，对任意的，有 即 由、，可把上式中的分别换成、，再将所得3个不等式相加，为方便，记 则 故从而，因此，原不等式成立。由题1的证明，可以看出用此性质证明分式不等式的一般步聚。（1）假定题设中各字母数的和为S。（2）结合所证不等式构造单调函数。一般的，所构造函数的指数要比题目中所证不等式的次数少1，取各字母数的平均值。易知，由此得出的不等关系能充分保证对任意满足条件的各字母数也成立。注：题1通过拆项构造出关于M： 的不等式而解之，简化了解题过程，若先拆相关项，则会更简捷。题2 设、为非负实数，且求证：（第3
