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1、第十七周 数阵图把一些数字按照一定的要求，排列成各种各样的图形，叫做数阵图。数阵是由幻方演化出来的另一种数字图。幻方一般均为正方形。图中纵、横、对角线数字和相等。数阵则不仅有正方形、长方形，还有三角形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至多种图形的组合。变幻多姿，奇趣迷人。一般按数字的组合形式，将其分为三类，即辐射型数阵、封闭型数阵、复合型数阵。【解题技巧】数阵的分类：封闭型：封闭型数阵图的解题突破口，是确定各边顶点所应填的数。为确定这些数，采用的方法是建立有关的等式，通过以最小值到最大值的讨论，来确定每条边上的几个数之和，再将和数进行拆分以找到顶点应填入的数，其余的数再利用和与顶点的数就容
2、易被填出。（16）辐射型：辐射型数阵图，解法的关键是确定中心数。具体方法是：通过所给条件建立有关等式，通过整除性的讨论，确定出中心数的取值，然后求出各边上数的和，最后将和自然数分拆成中心数的若干个自然数之和，确定边上其他的数。复合型：复合型数阵图，解题的关键是要以中心数和顶点数为突破口。数阵的特点：每一条直线段或由若干线段组成的封闭线上的数字和相等。它的表达形式多为给出一定数量的数字，要求填入指定的图中，使其具备数阵的特点。解数阵问题的一般思路是：1.求出条件中若干已知数字的和。2.根据“和相等”，列出关系式，找出关键数重复使用的数。3.确定重复用数后，对照“和相等”的条件，用尝试的方法，求出
3、其他各数。有时，因数字存在不同的组合方法，答案往往不是唯一的。【铜牌例题】将2、3、4、5、6、7、8、9、10填入下图中的9个方格中，使每行、每列及对角线之和相等，小明已经填了5个数，请将其余4个数填入。【答案】【解析】先根据最左边一列求出幻和，然后根据这个和和给出的数字逐步推算。3+8+7=18；第二行中间的数是：18-8-4=6；第三行中间的数是：18-7-9=2；第一行第一个数是：18-4-9=5；第一行中间的数是：18-3-5=10；【举一反三1】（第十届走美杯初赛）小华需要构造一个33的乘积魔方，使得每行、每列、每条对角线上三个正整数的乘积都相等；现在他已经填入了2，3，6三个数，
4、那当小华的乘积魔方构造完毕后，x等于_。【银牌例题】（第十四届中环杯初赛真题）将09填入下图圆圈中，每个数字只能使用一次，使得，每条线段上的数字和都是13。【答案】【解析】如右图，a-h被算了3次，x被算了4次，y被算了2次则1013=3（0+1+2+9）+x-yy-x=5由于a+g+b=c+x+y=h+e+d=13f=6所以c+d=a+h=b+x=7f=6所以，a,b,c,d,x,h分别为0、2、3、4、5、7所以e,g,y分别为1、8、9又y-x=5，所以y=8或9若y=8，则x=3b=4e=1g=9a=0d=10矛盾所以y=9x=4b=3e=1g=8a=2d=7c=0h=5 【举一反三2
5、】在下图的七个圆圈中各填一个数，要求每一条边上的三个数中，当中的数是两边数的平均数。现在已经填好了两个数，那么x是 。【金牌例题】（第十一届“走美杯”初赛）将05这6个数字中的4个数字填入如图的圆圈中，每条线段两端的数字作差（大减小），可以得到5个差，这5个差恰好为1-5，在所有满足条件的填法中，四位数的最大值是 。【答案】5034【解析】因为四位数ABCD的值最大，因此A=5，并且B和C中有一个为0，B作为百位数字应尽量大。若B=4，则C=0，但此时D无法填出，因此B最大为3，B=3时，C=0，此时D=4。因此，最大值为5034故答案为：5034。【举一反三3】（第十一届希望杯真题）将1，2
6、，3，4，5，6随意填入图中的小圆圈内，将相邻两数相乘，再将所得的6个乘积相加，则得到的和最小是 。【王牌例题】（第十届走美杯真题）请将1、2、3、4、5、6、8、9、10、12这10个数填入右图圆圈中，每个数用一次，使得每条线上4个数的和都相等。【答案】【解析】每条线上的和是：（1+2+3+4+5+6+8+9+10+12）25=24；假设，5个顶点数是较小的，即1，2，3，4，5；又因为1+3+8+12=24，1+4+9+10=24；那么5个顶点，1与3在一条线上，1与4在一条线上；那么2与5在一条线上；因为每条线上的和是24，是一个偶数，根据奇数+奇数=偶数，也就是每条线上要么有2个奇数，
7、要么没有奇数；那么3与5一条线上，2与4在一条线上；可以确定5个顶点的数是：；还有一个奇数9，只能在1、4与2、5相交的点上，即：；又因为1+9+4+10=24，5+9+2+8=24；那么1、9、4线上最后一个圆圈填10；5、9、2线上最后一个圆圈填8，即：；又因为1+8+3+12=24；确定1、8、3线上最后一个圆圈填12；5+10+3+6=24，确定5、10、3线上最后一个圆圈填6；即：【举一反三4】将2011至2019这九个自然数填入图中的圆圈中，使得每个以圆圈为顶点的正方形四个顶点上的数字之和相等，那么中心圆圈内填的数字是 。 【大显身手】1.（第十三届华杯初赛）如图的44网格里，横、
8、竖、对角线上的四个数之和均等于“2008”，则a+b+c+d= 。2.如图，“好、伙、伴、助、手、参、谋”这7个汉字代表17这7个数字已知3条直线上的3个数相加、2个圆圈上3个数相加所得的5个和都相等图中间的“好”代表 。3.根据图中的数字关系，算一算，“？”= 。4.自然数112中有一些已经填入图中的内，请将剩下的分别填入空内，使图中每个三角形（共四个）周边上的数字之和都相等。5.在图中的空格中填入四个数，使每个横行，每个竖行的三个数的积都相等6.把1-10这十个自然数分别填入图中的中，使每个圆圈中的六个数之和都是36。7.在圆的5条直径的两端分别写着110（如图1）现在请你调整一部分数的位
9、置，但保留1、10、5、6不动，使任何两个相邻的数之和都等于直径另一端的相邻两数之和，画在另一个圆上（图2）。8.把1991，1992，1993，1994，1995分别填入图中的5个方格中，使得横排的三个方格中的数的和等于竖列的三个方格中的数的和则中间方格中能填的数是 。9.请你从140中选出10个各不相同的整数填入图中的圆圈里，使得每个数均为与它相邻的两个数的最大公约数或最小公倍数。10.如图，在每个小圆圈里填上一个数，使得每一条直线上的三个数的和都等于大圆圈上三个数的和。11.据说美国有一位铁路职工花了50余年的业余时间，研究得到了一个六角形幻方，如图所示的每一个圆中分别填写了1、2、19中的一个数字（不同的圆中填写的数字各不相同），使得图中每一个横或斜方向的线段上几个圆内的数之和都相等，现在已知该图中七个圆内的数字，则图中的x= 。
