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1、2001年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)1、设为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为_.2、，则div（grad r）= _.3、交换二次积分的积分次序：_.4、设，则= _.5、D（X）=2，则根据车贝晓夫不等式有估计 _.二、单项选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)1、 设函数在定义域内可导，的图形如右图所示：则的图形为 ( )2、设在点（0，0）的附近有定义，且则 ( ) (A)dz|（0，0）=3dx+dy； (B)曲面在（0，0，）处的法向量为3，1，1； (C)曲线在（0，0，）处的切向量为1，
2、0，3 (D)曲线在（0，0，）处的切向量为3，0，13、设则在=0处可导 ( ) (A)存在； (B) 存在； (C)存在； (D)存在4、设，则A与B ( ) (A)合同且相似； (B)合同但不相似；(C)不合同但相似； (D)不合同且不相似5、将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数， 则X和Y相关 系数为：( ) (A) -1；(B)0；(C)1/2；(D)1三、（本题满分6分）求四、（本题满分6分）设函数在点（1，1）可微，且， ，求五、（本题满分8分）设=将展开成的 幂级数，并求 的和六、（本题满分7分）计算，其中L是平面 与柱面的交线，从Z轴正向看去，L为逆
3、时针方向七、（本题满分7分）设在（-1，1）内具有二阶连续导数且证明：对于，存在惟一的，使 =+成立；八、（本题满分8分）设有一高度为 为时间）的雪堆在融化过程，其侧面满足方程（设长度单位为厘米，时间单位为小时），已知体积减少的速率与侧面积成正比（系数为0.9），问高度为130厘米的雪堆全部融化需多少时间？九、（本题满分6分）设为线性方程组AX=O的一个基础解系， ，其中为实常数 试问满足什么条件时也为AX=O的一个基础解系十、（本题满分8分）已知三阶矩阵A和三维向量，使得线性无关，且满足 1. 记P=（），求B使；2. 计算行列式十一、（本题满分7分）设某班车起点站上客人数X服从参数为（）的
4、泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p（p），且中途下车与否相互独立Y为中途下车的人数，求： 在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率； 二维随机变量（X，Y）的概率分布十二、（本题满分7分）设XN（），抽取简单随机样本X1，X2，X2n（n2），样本均值，求E（Y）2002年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)（1）= _.（2）已知，则=_.（3）满足初始条件的特解是_.（4）已知实二次型经正交变换可化为标准型，则=_.（5）设随机变量，且二次方程无实根的概率为05，则_.二、单项选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)（1）
5、考虑二元函数的四条性质：在点处连续， 在点处的一阶偏导数连续，在点处可微， 在点处的一阶偏导数存在则有：（） ；（）；（） ；（） （2）设，且，则级数 (A)发散； (B)绝对收敛； (C)条件收敛； (D)收敛性不能判定（3）设函数在上有界且可导，则(A)当时，必有； （）当存在时，必有； (C) 当时，必有； (D) 当存在时，必有（4）设有三张不同平面，其方程为（）它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为，则这三张平面可能的位置关系为（5）设X和Y是相互独立的连续型随机变量，它们的密度函数分别为和，分布函数分别为和，则（）必为密度函数； (B) 必为密度函数；（）必为某一随机
6、变量的分布函数； (D) 必为某一随机变量的分布函数三、（本题满分6分）设函数在的某邻域具有一阶连续导数，且，当时，若，试求的值四、（本题满分分）已知两曲线与在点（，）处的切线相同求此切线的方程，并求极限五、（本题满分分）计算二重积分，其中六、（本题满分分）设函数在上具有一阶连续导数，是上半平面（）内的有向分段光滑曲线，起点为（），终点为（）记，（）证明曲线积分与路径无关；（）当时，求的值七、（本题满分7分）验证函数（）满足微分方程；求幂级数的和函数八、（本题满分分）设有一小山，取它的底面所在的平面为面，其底部所占的区域为，小山的高度函数为（） 设为区域上一点，问在该点沿平面上何方向的方向导数
7、最大？若此方向的方向导数为，写出的表达式（） 现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚下寻找一山坡最大的点作为攀登的起点也就是说要在的边界线上找出使（）中达到最大值的点试确定攀登起点的位置九、（本题满分6分）已知四阶方阵， 均为四维列向量，其中线性无关，若，求线性方程组的通解十、（本题满分8分）设A，为同阶方阵，若A，相似，证明A，的特征多项式相等；举一个二阶方阵的例子说明的逆命题不成立；当A，为实对称矩阵时，证明的逆命题成立十一、（本题满分7分）设维随机变量X的概率密度为对X独立地重复观察次，用表示观察值大于的次数，求的数学期望十二、（本题满分7分）设总体X的概率分布为X0123P 其中（
8、）是未知参数，利用总体的如下样本值，求的矩估计和最大似然估计值2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） = .（2） 曲面与平面平行的切平面的方程是 .（3） 设，则= .（4）从的基到基的过渡矩阵为 .（5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为则 .（6）已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则的置信度为0.95的置信区间是 .(注：标准正态分布函数值二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项
9、符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设函数f(x)在内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.(D) 三个极小值点和一个极大值点. y O x（2）设均为非负数列，且,则必有(A) 对任意n成立. (B) 对任意n成立.(C) 极限不存在. (D) 极限不存在. （3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且，则(A) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点. (B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点. (C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点
10、. (D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点. （4）设向量组I：可由向量组II：线性表示，则 (A) 当时，向量组II必线性相关. (B) 当时，向量组II必线性相关.(C) 当时，向量组I必线性相关. (D) 当时，向量组I必线性相关. （5）设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0, 其中A,B均为矩阵，现有4个命题： 若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)秩(B)； 若秩(A)秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解； 若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)； 若秩(A)=秩(B)， 则Ax=0与Bx=0同解.以上命题中正确的是(A) . (B) .(
11、C) . (D) . （6）设随机变量，则 (A) . (B) . (C) . (D) . 三、（本题满分10分）过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形D.(1) 求D的面积A;(2) 求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V.四、（本题满分12分）将函数展开成x的幂级数，并求级数的和.五 、（本题满分10分）已知平面区域，L为D的正向边界. 试证：(1) ;(2) 六 、（本题满分10分）某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k,k0）.汽锤第一次击打将桩打进地下a m. 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0r0时，九 、（本题满分10分）设矩阵，求B+2E的特征值与特征向量，其中为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵.十 、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为 ， ，
