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1、第八讲 无穷级数题型一 判定级数的敛散性【例1】判断下列级数的敛散性1)2)3)4)5）解1),则(1)当时,原级数收敛；(2)当时,原级数发散；(3)当时,原级数发散.2）(1)当时,原级数收敛；(2)当时,原级数发散；(3)当时,，但是单调趋于的,则，即单调增，又，则，原级数发散.3）由于，而收敛，所以原级数收敛。4）由于，而，则原级数与级数同敛散，故原级数在时收敛，在时发散5）方法1 由泰勒公式知则,而收敛,则原级数收敛.方法2由不等式知而收敛,则原级数收敛.【例2】设正项数列单调减小,且发散,试问级数是否收敛？为什么？解由于单调减,且,即下有界,则存在,设,则,若,由莱布尼兹准则知级数
2、收敛,这与题设矛盾,因此,此时,对正项级数用根值法,得,则级数收敛.【例3】设,则级数 ( )(A) 与都收敛 (B) 与都发散 (C) 收敛而发散 (D) 发散而收敛 【答案】(C)【解析】这是讨论与敛散性的问题.是交错级数,显然单调下降趋于零,由莱布尼兹判别法知,该级数收敛.正项级数中,.根据正项级数的比较判别法以及发散,发散.因此,应选(C).【例4】设常数,且级数收敛,则级数( )(A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与有关【答案】(C)【解析】考查取绝对值后的级数.因,(第一个不等式是由得到的.)又收敛,收敛,(此为级数：当时收敛；当时发散.)所以收敛,由比
3、较判别法,得收敛.故原级数绝对收敛【例5】设,()且,则级数.(A)发散(B)绝对收敛(C)条件收敛(D)敛散性不定解由,知,.令,则.由级数定义知原级数收敛,但由于,而发散,则发散,故原级数条件收敛.【例6】设则下列级数中肯定收敛的是 ( )(A) (B) (C) (D) 【答案】(D)【解析】因为,由收敛及比较判别法可知绝对收敛.即(D)正确.另外,设,则可知(A) , (C) 都不正确.设,则可知(B)不正确. 【例7】设收敛,则级数 .( )(A)条件收敛(B)绝对收敛(C)发散(D)敛散性不定解由于收敛,由级数收敛的必要条件知,则数列有界,即存在,对一切的有,从而有.而级数收敛,则级
4、数绝对收敛,故应选(B).【例8】下述各选项正确的是 ( )(A) 若和都收敛,则收敛(B) 收敛,则与都收敛(C) 若正项级数发散,则(D) 若级数收敛,且,则级数也收敛【答案】(A)【解析】由于级数和都收敛,可见级数收敛.由不等式及比较判别法知级数收敛,从而收敛.又因为即级数收敛,故应选(A).设,可知(B)不正确.设,可知(C)不正确.设,可知(D)不正确.注：在本题中命题(D)“若级数收敛,且,则级数也收敛.”不正确,这表明：比较判别法适用于正项级数收敛(或级数绝对收敛)的判别,但对任意项级数一般是不适用的.这是任意项级数与正项级数收敛性判别中的一个根本区别.【例9】设级数收敛，则必收
5、敛的级数为 ( )(A) (B) (C) (D)【答案】D【详解】方法1：直接法. 由收敛，所以也收敛.由收敛级数的性质(如果级数、分别收敛于、，则级数也收敛，且其和为). 知. 选项成立.方法2：间接法. 找反例：取，级数收敛，但是发散的；（关于上述结束的敛散，有下述结果：）：取，级数收敛，发散；：取，级数收敛，但由比较审敛法的极限形式知，级数发散.类似：1.（11,3） 设是数列，则下列命题正确的是 ( ) (A)若收敛，则收敛 (B) 若收敛，则收敛(C) 若收敛，则收敛 (D) 若收敛，则收敛【答案】(A)详解：根据级数性质：收敛级数任意添加括号仍收敛，故(A)正确.2.（06,1，3
6、）若级数收敛,则级数 ( )(A) 收敛(B)收敛(C)收敛(D)收敛【答案】【详解】方法1：数列收敛的性质：收敛数列的四则运算后形成的新数列依然收敛因为收敛，所以也收敛，所以收敛，从而也收敛.选D.方法2：记 ，则收敛. 但，(级数，级数发散)；(级数，级数发散)均发散。由排除法知，应选D.3.（05,3） 设若发散，收敛，则下列结论正确的是( )(A) 收敛，发散 . (B) 收敛，发散.(C) 收敛. (D) 收敛. 【答案】(D)【详解】方法1：排除法. 取，则发散，收敛，但与均发散，排除(A),(B)选项.又的通项，因为发散，所以发散.故排除(C), 从而应选(D). 方法2: 将题
7、设收敛的级数展开由级数基本性质知，收敛级数可以任意添加括号，故应选(D).【例10】设为正项级数，下列结论中正确的是 ( )(A) 若=0，则级数收敛.(B) 若存在非零常数，使得，则级数发散.(C) 若级数收敛，则. (D) 若级数发散, 则存在非零常数，使得. 【答案】 (B)【详解】 对于敛散性的判定问题，若不便直接推证，往往可通过反例排除找到正确选项.方法1：排除法. 取，则=0，又，所以发散，排除A，D；又取，因为级数，则级数收敛，但，排除(C), 故应选(B).方法2：证明(B)正确. ,即.因为发散，由比较判别法的极限形式知，也发散，故应选(B).题型二 有关级数的证明题【例11
8、】设正项级数满足，且发散，试证发散。分析：利用比较判别法证明。证明：由有于是故 ，由发散知，发散。【例12】设级数收敛，且，试证级数绝对收敛。分析 利用收敛数列的有界性及正项级数的比较判别法。证明： 由，知数列收敛，从而数列有界，即存在M0，对任意的正整数n，有。于是。又级数收敛，由比较判别法，知级数收敛，故级数绝对收敛。【例13】设在点的某一领域内具有二阶连续导数,且,证明级数绝对收敛.【解析】表明时是比高阶的无穷小,若能进一步确定是的阶或高于阶的无穷小,从而也是的阶或高于阶的无穷小,这就证明了级数绝对收敛.方法一：由及的连续性得知,再由在点的某一领域内具有二阶连续导数以及洛必达法则,为“”
9、型的极限未定式,又分子分母在点处导数都存在,连续运用两次洛必达法则,有 .由函数极限与数列极限的关系 .因收敛收敛,即 绝对收敛.方法二：由得知,可用泰勒公式来实现估计.在点有泰勒公式：因在点的某一领域内具有二阶连续导数,在有界,即,有.对此,时,.又收敛收敛,即 绝对收敛.【例14】设证明：(1) 存在；(2) 级数收敛.【解析】(1)先证单调有界.显然,由初等不等式：对非负数必有,易知.再考察 .因此,单调下降且有界,存在极限.(2)方法1：由单调下降.原级数是正项级数.现适当放大,注意,得的部分和,存在,可见级数收敛.由比较判别法知,级数也收敛.方法2：令,利用递推公式,有,由比值判别法
10、知级数也收敛.【评注】由证明中可见,有下述结论：收敛存在.在考研题中多次用到这个知识点,考生可倍加注意.【例15】（99，1）设(1) 求的值；(2) 试证：对任意的常数0, 级数收敛【详解】因为又由部分和数列有 因此 (2) 先估计的值，因为，令，则，即所以 所以 由于，所以收敛，从而也收敛.【例16】设有方程，其中为正整数. 证明此方程存在惟一正实根，并证明当时，级数收敛.【分析】利用零点定理证明存在性，利用单调性证明惟一性. 而正项级数的敛散性可用比较法判定.零点定理：设函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少存在一点，使；单调性：设函数在闭区间上连续，在内可导，如果在内，那么函数在上
11、单调增加；比较审敛法：设和都是正项级数，且，若级数收敛，则级数收敛.【证明】记，则是连续函数，由，对照连续函数的零点定理知，方程存在正实数根当时，可见在上单调增加, 故方程存在惟一正实数根由与知，故当时，函数单调增，所以. 而正项级数收敛，所以当时，级数收敛.题型三 求收敛半径、收敛区间及收敛域【例17】求级数的收敛域.【解析】因系数,故,这样,幂级数的收敛半径.因此当,即时级数绝对收敛.当时,得交错级数；当时,得正项级数,二者都收敛,于是原级数的收敛域为.【例18】级数的收敛域为_.【答案】【解析】因题设的幂级数是缺项幂级数,故可直接用比值判别法讨论其收敛性.首先当即时级数收敛.当时,后项比
12、前项取绝对值求极限有当,即当或时级数绝对收敛.又当和时得正项级数,由级数：当时收敛；当时发散.所以正项级数是发散的.综合可得级数的收敛域是.注：也可作换元后,按如下通常求收敛半径的办法讨论幂级数的收敛性.【例19】设幂级数在收敛,在发散,则该幂级数收敛域为_.解由于幂级数在收敛,在发散,由阿贝尔定理知当,即,原幂级数收敛.当,即,原幂级数发散.则该幂级数收敛域为.类似题: （08,1）已知幂级数在处收敛，在处发散，则幂级数的收敛域为.【答案】【详解】幂级数的收敛区间以为中心，因为该级数在处收敛，在处发散，所以其收敛半径为2，收敛域为，即时级数收敛，亦即的收敛半径为2，收敛域为. 则的收敛半径为
13、2，由得，即幂级数的收敛域为【例20】若幂级数在处条件收敛,则幂级数的收敛半径为_.解由于幂级数在处条件收敛,则为幂级数收敛区间的端点,则其收敛半径为3,而幂级数是幂级数做中心平移,收敛半径不变,则幂级数的收敛半径为3.【例21】求幂级数的收敛区域，并讨论该区间端点处的收敛性.【详解】所以收敛半径为R = 3，相应的收敛区间为.当x =3时，因为且发散，由比较审敛法的极限形式，所以原级数在点x =3处发散；当x = 3 时， 由于分别考虑两个级数，级数是收敛的. 又因，从而再由收敛，根据比较审敛法知收敛. 于是收敛，所以原级数在点x = 3处收敛. 所以收敛域为.题型四 级数求和【例22】级数的和为 .【答案】【解析】利用几何级数求和公式令,即得【例23】求常数项级数的和解：令,则故注：这里用到,这是一个常用的结论【例24】求常数项级数的和类似题1.（05，1）求幂级数的收敛区间与和函数.【详解】因为，所以，由比值判别法知，当时，原级数绝对收敛，当时，原级数发散，因此原级数的收敛半径为1，收敛区间为(1,1). 另外，当时由于通项极限不为零，故原幂级数在处为发散的.，对，由等比级数求和公式得， 对，则由幂级数在收敛区间上可导并有逐项求导公式得同理可得，可得所以，由牛莱公式得 同理得 (分部积分) (计算出微分) (凑微分) (基本积分表中的公式)
