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1、咨询电话：0755-83234965一元函数微积分新阳光教育http:/本部分内容包括：考试要求、内容综述、典型例题、真题一、函数考试要求理解函数的概念，掌握函数的表示方法；了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性；理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念；掌握基本初等函数的性质及其图形；会建立简单应用问题中的函数关系内容综述1函数概念（1）函数的定义（2）函数的两要素（3）函数的图形（4）函数的表示法（5）分段函数：（6）隐函数： ，2函数的性质（1）奇偶性（2）单调性（3）周期性（4）有界性3反函数与复合函数（1）反函数（2）复合函数：4初等函数（1）基本初等函数常函数、幂函
2、数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。（2）初等函数典型例题例1 求下列函数的定义域（1）解：由 得函数的定义域为。（2）解：由 得函数的定义域为 。（3）解：由 得函数的定义域为 。例2 已知函数的定义域为，求函数的定义域解：由 得的定义域为。例3 研究下列函数的奇偶性（1），解：因为对任意的，都有定义，且，所以是奇函数。（2）解：因为，所以函数是奇函数。（3）偶函数例4 已知函数的周期是，求函数的周期解：欲找，使得，即 ，故，。所以函数的周期为。 例5 设，求的表达式解：根据得 ，解方程组得，令 得 ，所以。例6 已知, 求的表达式解：令 得 ，故。例7 已知，求的表达式解：根据
3、得 ，即，从而 。例8 已知 求解： 二、极限考试要求 数列的极限，函数的极限，极限的运算法则，极限存在的两个准则与两个重要极限，无穷小与无穷大内容综述1数列的极限（1）数列的概念（2）数列极限的概念 （3）判断极限存在的两个准则单调有界有极限定理：例如：已知，证明存在并求其值提示 证明数列单调下降有下界夹逼定理：例如： 求极限提示 根据，利用夹逼定理（）。（4）数列极限的性质极限的唯一性；绝对收敛性；收敛数列的有界性；保序性（5）数列极限的四则运算2函数极限（1）时的极限且（2）时的极限且（3）夹逼定理（4）函数极限的性质（5）函数极限的四则运算、复合函数的极限3两个重要极限4无穷大量、无穷
4、小量（1）无穷大量（2）无穷小量（3）几个关系（4）无穷小的比较与等价无穷小代换典型例题例1 求下列极限的值（1）（2） （3）（4） （5）（6）（7）（8）（9）（10） （11），故所求极限等于1。（12）例2已知，求的值解：因为，所以。例3 已知，求的值解：因为，所以 解得。例4 若， ，求与的值 解：因为 ，所以。例5 已知为周期函数，且，试证证明：设函数的周期为，则对任意的都有，其中是任意整数，所以 例6 证明等价无穷小关系的传递性证明：因为 ，所以三、函数的连续性考试要求 理解函数连续性概念，会判断函数间断点的类型；了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质
5、，并会应用这些性质内容综述1基本概念（1）连续及连续点：（2）左、右连续：定理：函数在处连续的充要条件是：在处既是左连续又是右连续。（3）间断点及其分类第一类：左、右极限都存在（可去型：左右极限相等；跳跃型：左、右极限不等）。第二类：非一类（左、右极限中至少有一个不存在）。2连续函数的运算（1）四则运算（2）反函数的连续性（3）复合函数的连续性3初等函数的连续性：初等函数在其定义域区间上连续。 4闭区间上连续函数的性质（1）有界性：若函数在上连续，则其在上有界。（2）最大、最小值定理：若函数在上连续，则存在，使得对任意的都成立。（3）零点存在定理：设函数在上连续，且，则存在，使得。（4）介值定
6、理：设函数在上连续，满足，则对任意的，都存在介于与之间的，使得。典型例题例1研究下列函数的连续性，并说明间断点的类型（1）解：因为 ，所以是可去型间断点。（2），解：由于，所以从而是跳跃型间断点。（3），解：因为，所以 是跳跃型间断点。（4），解：因为，所以 是跳跃型间断点。例2 已知函数在上连续，求的值解：。例3 已知函数在上连续，求的值解：由于 所以，；，。根据连续性可知 解得 。例4 已知，证明：当为偶数时，至少有两个不同实根证明：当为偶数时，因为，所以存在，使得由于，从而存在至少有两个不同实根例5 设，且，证明：存在，使得证明：令，则，且，所以存在 ，使得 注：条件可以减弱为：。例6设
7、，证明：存在，使得 证明：令 ，则，且，所以存在 ，使得 例7 已知，且存在，证明在上有界证明： 令则，所以存在，使得，从而四、导数与微分考试要求 导数的概念，求导法则及导数基本公式，高阶导数，微分（理解导数与微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系；掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则，会求函数的微分；了解高阶导数的概念，会求简单函数的阶导数，会求复合函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数，会求反
8、函数的导数）内容综述1导数概念（1）导数的定义导数：右导数：左导数：（2）导数的几何意义；切线方程：法线方程：（3）可导与连续的关系：可导必连续。2导数运算（1）基本导数公式（2）导数的四则运算（3）复合函数的链导法（4）隐函数的求导法反函数的求导法：幂指函数求导法：(参数方程所确定的函数的求导法)3微分概念（1）微分的定义：，（2）可微与可导的关系微分计算公式；定理：函数在处可微的充分必要条件是在处可导，且。（3）微分的几何意义：4高阶导数（1）高阶导数的概念：（2）常见的几个函数的高阶导数，（3）复合函数、隐函数二阶导数的求法典型例题例1 用导数定义求解 例2 研究函数在处的可导性解 因为
9、 ，所以当，即时，函数在处可导，且；当时，函数在处不可导例3 已知存在，求下列极限的值（1）；（2）例4 已知函数在处可导，求的值解：因为 ，所以；又因为，所以。例5 设在处可导，且当时，已知，求极限解：。例6 已知，且在处连续，求解：因为，所以。例7设在的某邻域内有定义，则在处可导的充分必要条件是 A （A）. (B) 存在 (C) 在处连续 (D) 在处可导解：，。例8已知，求解：因为 所以。例9 求下列函数的导数（1），（2）,（3），（4），（5），例10 已知函数由确定，求解：由 得，当 时，得 ，所以 2例11 求下列函数的高阶导数（1），（2），（3），（4），例12 已知函数由
10、确定，求曲线在处的切线方程与法线方程解：由 得，当 时，得 ，所以要求的切线与法线方程分别为。例13 设曲线在点处的切线与轴的交点为，求解：曲线在点处的切线方程是 ，令得，所以 。例14设在上一阶可导，且，证明存在，使得简证：不妨设，则存在，使得因此存在，使得例15 已知，且，证明：存在，使得简证：由于，所以存在，使得，故均不是函数在闭区间上的最大值因此存在，使得五、中值定理与导数应用考试要求 中值定理，导数的应用（理解并会用罗尔定理、拉格朗日定理；理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法，掌握函数最大最小值的求法及简单应用；会用导数判断函数图形的凹凸性和拐点，会求函数图形
11、的水平和铅直渐近线；掌握用洛必达法则求未定式极限的方法）内容综述1中值定理（1）Fermat定理：极值，极值点；可导极值点导数为零。（2）Rolle定理：若，且，则存在，使得。（3）Lagrange中值定理：若，则存在，使得2洛必达法则（1）型：（2）型：（3）其他不定式（）3函数的单调性与极值（1）函数单调性的判别法步骤1 求出和不存在的点；步骤2 利用点将函数的定义域分成几个小区间；步骤3 在每个小区间上利用的符号给出函数的单调性结论。（2）函数极值点的求法4函数的凹凸性和拐点（1）函数的凹凸性和拐点的概念（2）函数凹凸性的判别法步1 求出和不存在的点；步2 利用点将函数的定义域分成几个小
12、区间；步3 在每个小区间上利用的符号给出函数的凹凸性结论。（3）函数拐点的求法5曲线的渐近线（1）水平渐近线：或，（2）铅直渐近线：或，（3）斜渐近线：，典型例题例1 求下列极限（1），（2），（3），（4），（5），（6），（7），（8），例2 求函数的单调区间和极值点解 ，由得单增区间为，单减区间为和是极小值点，是极大值点例3 当为何值时，点可能为的拐点，此时函数的凹凸性如何？解 由点在曲线上和拐点处的二阶导数为零，得解得 由于 ，所以为函数的凹区间，为函数的凸区间，点是的拐点例4 设函数在上二阶连续可导，且，试判断是否为的极值点？是否为的拐点？ 解：因为 ，所以在附近，从而，因此不是的拐
13、点。由于，所以单增，又，从而易知是的极小值点。例5 求曲线的渐近线。解：因为 ，所以铅直渐近线的方程为 。又因为 ，所以斜渐近线的方程为 。例6 证明简证 令，则，且，所以，即例7 证明下列不等式（1），简证 由于 ，其中，所以。（2）；简证 令，则，所以当时，即 ，故（3）简证 令，由得，由于，所以函数在区间上的最大、最小值分别为和，从而有例8讨论方程的实根情况解 令 ，由 得 ，从而是函数的单减区间，和是函数的单增区间，极大值为，极小值为由于 所以当时，原方程只有一个实根，位于内；当时，原方程有两个不同实根，一个为，一个位于内；当时，原方程有三个不同实根，分别位于，内；当时，原方程有两个不同实根，一个为，一个位于内；当时，原方程只有一个实根，位于内例9 证明方程至多有两个不同实根简证：令，若有多于两个不同的实根，根据Rolle定理便知至少有两个不同实根，至少有一个实根，这与矛盾例10 设函数在上可导，证明简证：由于，所以存在使得当时，有.当时，根据Lagrange定理，有，从而，故有
