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1、(word完整版)第三章.导数及其应用测试卷(含详细答案)单元综合测试三(第三章)时间：90分钟分值：150分第卷(选择题，共60分）一、选择题（每小题5分，共60分）1已知f（x)(xa）2，且f(）3，则a的值为（)A1 B2C1 D2解析：f（x）(xa)2,f(x)2（xa)又f（)3,12a3，解得a2。答案：B2函数ysinx(cosx1）的导数是(）Aycos2xcosx Bycos2xsinxCycos2xcosx Dycos2xcosx解析：y（sinx）（cosx1)sinx(cosx1）cos2xcosxsin2xcos2xcosx。答案：C3函数y3xx3的单调递增区间
2、是（)A(0，) B（，1)C(1，1） D(1，）解析：f（x)33x20x（1，1）答案：C4某汽车启动阶段的路程函数为s(t)2t35t22，则t2秒时，汽车的加速度是()A14 B4C10 D6解析：依题意v（t）s（t）6t210t，所以a(t)v(t)12t10，故汽车在t2秒时的加速度为a(2）241014。答案:A5若曲线f（x)xsinx1在x处的切线与直线ax2y10互相垂直，则实数a的值为（)A2 B1C1 D2解析:f（x)xcosxsinx，f()1,k1，a2.答案：D6已知P，Q为抛物线x22y上两点，点P，Q的横坐标分别为4,2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切
3、线交于点A,则点A的纵坐标为(）A1 B3C4 D8解析：如图所示，由已知可设P（4，y1）,Q(2,y2），点P，Q在抛物线x22y上，P（4,8)，Q（2，2）又抛物线可化为yx2,yx.过点P的切线斜率为yx44，过点P的切线为y84(x4），即y4x8。又过点Q的切线斜率为y|x22.过点Q的切线为y22(x2）,即y2x2.联立解得x1，y4. 点A的纵坐标为4.答案：C7若函数ya(x3x）的递增区间是(，)，（,），则a的取值范围是()Aa0 B1a0Ca1 D0a1解析：依题意ya（3x21)0的解集为(,）,（，），故a0。答案：A8对任意的xR,函数f（x）x3ax27ax
4、不存在极值点的充要条件是(）A0a21 Ba0或a7Ca21 Da0或a21解析：f（x）3x22ax7a，当4a284a0，即0a21时,f（x)0恒成立,函数f（x)不存在极值点故选A.答案：A9已知函数f（x)x33x，若对于区间3,2上任意的x1，x2,都有f（x1）f(x2）t，则实数t的最小值是()A0 B10C18 D20解析：f(x)3x23,令f（x)0，解得x1，所以1，1为函数f(x)的极值点，因为f（3)18，f（1）2，f（1）2，f(2)2,所以在区间3，2上，f(x)max2，f（x）min18，所以对于区间3，2上任意的x1，x2，|f（x1)f(x2)20，所
5、以t20，从而t的最小值为20.答案：D10设函数f(x)的定义域为R，x0(x00)是f(x）的极大值点，以下结论一定正确的是（)AxR，f（x）f（x0)Bx0是f(x)的极小值点Cx0是f（x)的极小值点Dx0是f(x）的极小值点解析：取函数f（x）x3x,则x为f（x)的极大值点,但f(3）f（),排除A.取函数f(x)(x1）2,则x1是f(x）的极大值点，f（x)（x1）2，1不是f（x)的极小值点，排除B；f(x)(x1）2，1不是f（x)的极小值点,排除C.故选D.答案:D11若函数yf（x)满足xf（x）f（x)在R上恒成立，且ab,则（)Aaf（b）bf（a) Baf（a）
6、bf(b）Caf(a）bf(b） Daf(b）b,g（a)g（b）即af(a）bf（b）答案:B12设函数f(x)满足x2f（x）2xf（x)，f（2），则x0时，f(x）()A有极大值，无极小值B有极小值,无极大值C既有极大值又有极小值D既无极大值也无极小值解析：由题意知f（x).令g(x)ex2x2f(x)，则g(x)ex2x2f(x)4xf（x)ex2（x2f（x)2xf（x）)exex。由g(x）0得x2，当x2时，g(x)mine22220，即g（x)0，则当x0时,f（x)0，故f(x)在(0,）上单调递增，既无极大值也无极小值答案:D第卷（非选择题,共90分)二、填空题(每小题5
7、分，共20分)13若抛物线yx2xc上一点P的横坐标为2，抛物线过点P的切线恰好过坐标原点,则c的值为_解析：y2x1，yx25.又P（2,6c)，5.c4。答案：414如果函数f(x）x36bx3b在区间(0，1)内存在与x轴平行的切线，则实数b的取值范围是_解析：存在与x轴平行的切线，即f（x)3x26b0有解，x(0,1)，b（0，）答案：b|0b15已知a4x34x21对任意x1，1都成立，则实数a的取值范围是_解析：设f(x)4x34x21，则f(x)12x28x4x(3x2),令f(x）0，解得x10，x2。又f（1)1, f（)，f（0)1，f（1)9，故f（x）在1,1上的最小
8、值为1，故a1.答案：（，116设二次函数f（x）ax2bxc（a0)的导数为f(x)，f（0)0，若xR，恒有f(x)0，则的最小值是_解析:二次函数f(x）ax2bxc（a0）的导数为f（x)2axb,由f（0）0，得b0，又对xR,恒有f(x）0，则a0，且b24ac0，故c0，所以121212,所以的最小值为2。答案：2三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17（10分）已知函数f（x)ln（2xa)x2，且f（0).（1）求f（x）的解析式;(2）求曲线f（x）在x1处的切线方程解:（1）f(x)ln(2xa）x2，f(x）（2xa）2x2x.又f(0），解得
9、a3.故f（x）ln（2x3）x2.（2)由（1）知f（x）2x，且f(1）ln(23)(1）21,f（1)0，因此曲线f(x)在(1,1)处的切线方程是y10（x1)，即y1.18（12分）已知函数f(x）x3axb（a，bR）在x2处取得极小值。(1)求函数f（x)的增区间；(2）若f(x）m2m对x4，3恒成立，求实数m的取值范围解：（1）由已知得f（2),f（2)0,又f(x）x2a,所以2ab，4a0,所以a4,b4，则f（x)x34x4,令f(x）x240，得x0；当x(2，ln2）时，f(x）0.故f（x）在（，2），(ln2，)上单调递增，在(2，ln2）上单调递减当x2时，函
10、数f（x)取得极大值，极大值为f（2)4（1e2)20(12分)已知函数f（x)xalnx(aR)（1）当a2时，求曲线yf（x)在点A（1,f（1）)处的切线方程(2)求函数f（x）的极值解:函数f(x）的定义域为（0，)，f(x）1.（1)当a2时，f(x）x2lnx，f（x)1(x0），所以f（1)1,f(1)1，所以yf（x)在点A(1，f（1)处的切线方程为y1(x1)，即xy20.(2）由f（x）1，x0可知：当a0时，f(x)0，函数f(x)为（0,)上的增函数,函数f(x)无极值；当a0时，由f(x）0,解得xa;因为x(0，a)时，f（x)0,所以f（x）在xa处取得极小值，
11、且极小值为f（a)aalna，无极大值综上：当a0时，函数f（x)无极值，当a0时，函数f（x）在xa处取得极小值aalna，无极大值21。(12分)某地政府鉴于某种日常食品价格增长过快，欲将这种食品价格控制在适当范围内，决定给这种食品生产厂家提供政府补贴，设这种食品的市场价格为x元/千克,政府补贴为t元/千克，根据市场调查，当16x24时,这种食品日供应量p万千克，日需量q万千克近似地满足关系：p2（x4t14）(t0），q248ln。当pq时的市场价格称为市场平衡价格(1)将政府补贴表示为市场平衡价格的函数，并求出函数的值域；(2)为使市场平衡价格不高于20元/千克，政府补贴至少为多少元/千克?解：(1)由pq得2（x4t14)248ln（16x24，t0）,即txln（16x24)t0，t是x的减函数tmin24lnlnln；tmax16
