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1、第八章交通流理论授课时间：8课时授课内容：1、 交通流的统计分布特征2、 排队论及其应用3、 跟驰理论4、 流体力学模拟理论授课要求：掌握泊松分布理论、二项分布理论在交通流分析中 的应用；熟悉M/M/1 , M/M/n系统理论及其应用；了解跟驰理 论及流体力学模拟理论四、授课步骤：第一节交通流的统计分布特性1、泊松分布基本公式P(x)=x -m m ex!式中：P (x)在计数周期t内到达x车辆的概率；t每个计数周期的持续时间，S；入单位时间平均到达率，veh/s;m在t时间间隔内平均到达的车辆数，m=入te)一自然对数的底，取值为 2. 718 28。/8 m图8-5泊松分布2、递推公式m_
2、mP(x) p(x-1)(x1), p(0) =e x3、累计分布xP(x)八i卫i -mm e尸(x) =1 - p( x) ix 1 i .mm eP( x)八,P(- x) =1-P( ； x) i卫i!y i .mm eP(x 三 i 三 y)二t i!4、均值与方差E(x): xp(x):x=0D(x) -、 x - E(x) 1 P(x) -mxfD(x) .1E(x)5.适用条件适用于交通流量小，驾驶员随意选择车速，车辆到达是随机的，判据为:、二项分布1 .基本公式交通流为拥挤车流，观测周期t内到达x辆车的概率服从二项分布，公式为:P(x)=C：px(1-p)ne(x =0,1,
3、2,n)n!式中：C：=从n辆中取出x辆车的组合；x!(n - x)!n观测周期t内可能到达的最大车辆数，可根据最大流率求出 nn为正整数;p二项分布参数，pvl,经常代表转向车流占整个车流的比例，%.2 .递推公式n - x 1 pP(x)=匕 p(x-1)(x_1)x 1 - pP(0) =(1-p)n3.累积二项分布 xP仁 x) =、cnpi(1-p)n，p( x) =1-p(wx)i =0x J p( x) =、cnpi(i-p)n，p(_x)=i-p(；x)i 0 yp(x i y) =、cn pi(1-p)n-Li =x4 .均值与方差E(x) = npD(x) =np(1 -
4、p)5 .适用条件交通量大，拥挤车流，车辆自由行驶的机会减少，车流到达数在均值附近波动(适合交叉 口左转车到达，超速车辆数。)判据为：D(x)E(x)三、计算示例例8-1在平均交通量为120辆/h的道路上，已知交通流到达服合泊松分布，求30s内无车到达、有1辆、有2辆、有3辆、有四辆及电辆以上车通过的概率。解：已知观测周期 t=30s120veh/s3600 3600 30,1m =，t = 30 = 1(veh) 30x = 0x =1x _mP(0) = m-x!0 _mm e =e =e=0.368 0P(1) = mP(x - 1) = m P(0) =1 P(0) = 0.368 x
5、11P(2)=P(x -1) = -P(1) = 0.184x = 3P(3) = mP(x -1) = mP(2) =0.061x3x = 4P(4) = mP(3) =0.0154有4辆以上车通过的概率为：4P(x 4)=1 -P(4辆车的概率P(x 4) =1 -P( 4)=1 -P(0) - P(1) - P(2) - P(3) - P(4)=1 -0.0025 -0.015 -0.045 -0.09 -0.135= 0.7125例8-3 一交叉口.设置了专供左转的信号相，经研究指出：来车符合二项分布。每一周期内平均到达20辆车，有25要的车辆左转但无右转。求：到达三辆车中有一辆左转的
6、概率。某一周期不使用左转信号相的概率。解；已知：n = 3. x=1 . P=0.25,代入式中可求出到达三辆车中有一辆左转的概率_ 1 13 13!_1_31_P(1) =C3P1(1 - p)3 =(0.25)1(1 0.25)= 0.422已知：n=20, x=0, p=0.25P(0) =C：P0(1 P)3 = -20!-(0.25)0(1 -0.25)20-0 =0.00320!20!第二节 交通流中排队理论一、排对论的基本概念1 .“排队”单指等待服务的，不包括正在被服务的，而“排队系统”既包括了等待服务的， 又包括了正在服务的车辆。2 .排队系统的三个组成部分(1)输入过程 指
7、各种类型的“顾客(车辆或行人)”按怎样的规律到来。定长输入一一顾客等时距到达。泊松输入一一顾客到达时距符合负指数分布。这种输入过程最容易处理，因而应用最广泛。泊尔朗输入一一顾客到达时距符合爱尔朗分布。(2)排队规则指到达的顾客按怎样的次序接受服务。例如：损失制一一顾客到达时，若所有服务台均被占，该顾客就自动消失，永不再来。等待制一一顾客到达时，若所有服务台均被占，它们就排成队伍，等待服务。服务 次序有先到先服务(这是最通常的情形)和优先权服务(如急救车、消防车)等多种规 贝U。混合制一一顾客到达时，若队长小于L,就排入队伍；若队长等于L,顾客就离去,永不再来。(3)服务方式 指同一时刻有多少服
8、务台可接纳顾客，每一顾客服务了多少时间。每 次服务可以接待单个顾客，也可以成批接待，例如公共汽车一次就装载大批乘客。服务时间的分布主要有如下几种：定长分布一一每一顾客的服务时间都相等。等指数分布一一即各顾客的服务时间相互独立，服从相同的负指数分布。爱尔朗分布一一即各顾客的服务时间相互独立，具有相同的爱尔朗分布。3排队系统的主要数量指标最重要的数量指标有三个：(l )等待时间一一从顾客到达时起到他开始接受服务的这段时间。(2)忙期一一服务台连续繁忙的时期，这关系到服务台的工作强度。(3)队长一一有排队顾客数与排队系统中顾客数之分，这是排队系统提供的服务水平 的一种衡量。、单通道排队服务(M/M/
9、1)系统由于排队等待接受服务的通道只有单独一条，故称“单通道服务”系统。如图设顾客随机单个到达，平均到达率为入，则两次到达之间的平均间隔为 1/入。从单通道接受服务后出来的输出率(即系统的服务率)为 科，则平均服务时间为 1/科。比率p =入/科 叫做交通强度或利用系数，可确定各种状态的性质。如果p 1,每个状态是不稳定的，而排队的长度将会变得越来越长， 没有限制。因此，要保持稳定状态即确保单通道排队能够疏散的条件是p 1,即入v科。在系统中没有车辆的概率：P(n) = Pn(1 - ：)= ：nP(0)在系统中有n辆车的概率：排队系统中车辆的平均数：n排队系统中车辆数的方差：1 - ： 2n
10、与P的关系可绘成图，从图中不难看出当交通强度 p越过0. 8时，平均排队长度迅速 增加，而系统状态的变动范围和频度增长更快，即不稳定因素迅速增长，服务水平迅速下降。16a)b)a) n与p的关系图；b) a与p的关系图平均排队长度:排队系统中的平均消耗时间:排队中的平均等待时间:例84某高速公路人口处设有一收费站，车辆到达该站是随机的，单向车流量为300辆/h,收费员平均每10s完成一次收费并放行一辆汽车，符合负指数分布。试估计在检查站上排队系统中的平均车辆数。平均排队长度、排队系统中的平均消耗时间以及排队中的平均等待时间。解：这是一个 M/M/l系统。由题意如 =300pcu/h-360pc
11、u/h1,3600=pcu / s =1010-0.83 1该系统是稳定的。排队系统中车辆的平均数:300n =r = = = 5 pcu1 - ：1 - 360 -300平均排队长度:q=n：；=5 0.83 = 4.15 pcu排队系统中的平均消耗时间:-11，d = = 3600 = 60s/ pcuJ 360 - 300排队中的平均等待时间:300- 360(360 -300)3600 =50s/ pcu三、条通道排队服务（M/M/N系统在这种排队系统中，服务通道有N条，所以叫“多通道服务”系统。根据排队方式的不同，又可分为:单路排队多通道服务：指排成一个队等待数条通道服务的情况。排队
12、中头一辆车可视哪个通道有空就到哪里去接受服务，如图所示。单路排队多通道服务图多路排队多通道服务：指每个通道各排一个队,每个通道只为其相对应的一队车辆服务,车辆不能随意换队。如图所示，这种情况相当于N个单通道服务系统。多路排队多通道服务对于多通道服务系统，保持稳定状态的条件，不是P v 1,而是P /N v 1。其中7为各通道平均值。现考虑各通道 p值相等的情况则 万=p。若令人为进入系统中的平均到车率，则对于单路排队多通道服务系统，存在下列关系式:系统中没有车辆的概率:P(0) =N!LNN ,!-1N 二：n： NZ+n=0 n! N!(1- ；n)系统中有n辆车的概率:：nP(n)=n -
13、NN!NP(0)排队系统中的平均车辆数:N!N11 I.N L：N 1P(0)N!N1二、2 d P、 1 -N排队系统中的平均消耗时间:排队中的平均等待时间:-、N儿-P(0)工_二+,2(N -1)!(NJ - )3P(0)(N -1)!(NL r； )2二五、N?卅工P(0)v- in =-:2(N _1)!(N.L； )2平均排队长度:例8 5有一收费公路，高峰小时以2400辆/ h的车流量通过四个排队车道引向四个收费口。平均每辆车办理收费的时间为5s,服从负指数分布。试分别按单路排队和多路排队的两种服务方式计算各相应的指标并比较之。解：按多路排队计算根据题意，有四路排队，即每个收费口有它各自的排队车道，而将到达的车流四等分,2400：4 1,、(pcu/s)36006,1二g (pcu / s)一月二1J 6即相当于四个单通道排队情况，由M/M/l系统的计算公式，得到:=5( pcu)_ 6- , 一 1 15 -6_5n = - 5 = 4.17( pc
