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1、18.2勾股定理的逆定理教学设计凤阳县二铺中学 徐超【内容和教材分析】 内容 教材第58-60页，18.2勾股定理的逆定理. 教材分析 “勾股定理的逆定理”一节，是在上节“勾股定理”之后，继续学习的一个直角三角形的判断定理，它是前面知识的继续和深化.勾股定理的逆定理是初中几何学习中的重要内容之一，是判断一个三角形是不是直角三角形的重要方法之一，在以后的解题中，将有十分广泛的应用，同时在应用中渗透了利用代数计算的方法证明几何问题的思想，为将来学习解析几何埋下了伏笔，所以本节也是本章的重要内容之一.【教学目标】知识与技能1理解勾股定理的逆定理的证明方法并能证明勾股定理的逆定理2掌握勾股定理的逆定理
2、，并能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形过程与方法1通过对勾股定理的逆定理的探索，经历知识的发生、发展与形成过程2通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形结合方法的应用3通过勾股定理的逆定理的证明，体会数与形结合方法在问题解决中的作用，并能运用勾股定理的逆定理解决相关问题情感、态度与价值观1通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形的内在联系，感受定理与逆定理之间的和谐及辩证统一的关系2在探究勾股定理的逆定理的活动中，通过一系列富有探究性的问题，渗透与他人交流、合作的意识和探究精神【教学重难点及突破】 重点 1勾股定理的逆定理及运用. 2灵活运用勾
3、股定理的逆定理解决实际问题. 难点勾股定理的逆定理的证明.【教学突破】 1.勾股定理的逆定理的题设实际上是给出了三条边的条件，其形式和勾股定理的结论形式一致.证明在此条件下的三角形是一个直角三角形，需要构造直角三角形才能完成，构造直角三角形是解决问题的关键.可以从特例推向一般，设置两个动手操作问题. 2.勾股定理的逆定理给出的是判定一个三角形是直角三角形的方法，和前面学过的一些判定方法不同，它通过计算来做判断. 3.勾股定理的逆定理可以解决生活中的许多问题.在解决实际问题时，常先画出图形，根据已知条件计算出各边长，再利用勾股定理的逆定理判断三角形是否是直角三角形，再回答问题.【教学设计】一、
4、复习回顾师：上一节课我们学习了直角三角形的特殊性质勾股定理，请同学们回答一下：1、勾股定理的内容是什么？生：直角三角形两条直角边的平方和, 等于斜边的平方。 2、勾股定理的几何语言？生：如果直角三角形的两直角边用a、b表示,斜边用c表示，那么勾股定理可表示为：a2+ b2=c23、一个三角形要满足什么条件才是直角三角形?生：(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形； (2)有两个角的和是90的三角形是直角三角形。 师：看来同学们对前面的知识掌握的非常好， 还有别的方法来说明一个三角形是直角三角形吗？ 生：思考、讨论、交流。师：本节课我们就一起来研究这个问题。 设计意图：通过对直角三角形所学知识
5、的归纳总结，联想到用三边的关系是否可以判断一个三角形为直角三角形，自然地引出勾股定理的逆定理. 二、教学新知1.发现勾股定理的逆定理.观察发现：师生共同学习古埃及人画直角的方法：据说，几千年前的古埃及人就已经知道，在一根绳子上连续打上等距离的13个结，然后，用钉子将第1个与第13个结钉在一起，拉紧绳子，再在第4个和第8个结处各钉上一个钉子，如图。这样围成的三角形中，最长边所对的角就是直角。师：围成三角形的三条绳子的长各是多少，最大边是多少？按照这种做法真能得到一个直角三角形吗？ 设计意图：介绍前人经验，启发思考，使学生意识到数学来源于生活实际，激发兴趣.实验操作：师：下面我们也按照这种方法来画
6、一个三角形。（1）画一画：用圆规、直尺作ABC，使AB=5cm，AC=4cm，BC=3cm，量一量C，它是90吗？（2） 想一想：师：ABC的三边之间有怎样的数量关系？师：通过画图，你发现三角形的三条边长与它的形状有什么关系？ 教师指导学生按要求画三角形、判断形状、猜想命题. 学生展示：画出的图形并说明做法. 师：根据上面的作图，你会猜想到什么？请用命题的形式回答。 生：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 学生回答，教师板书：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 师：同学们还记得刚刚学习过的勾股定理的内容吗？学生回答：直角三角形
7、两条直角边的平方和, 等于斜边的平方。师提问：那么我们刚刚得到的命题和勾股定理有什么关系？（题设、结论）生：观察、思考回答互为逆命题。师：所以我们得到的命题是的勾股定理的逆命题 设计意图：通活动通过让学生按已知数据作出三角形，并测量三角形三个内角的度数来进一步获得一个三角形是直角三角形的有关边的条件，让学生经历测量、计算、归纳和猜想的过程，了解几何知识的探索过程.2.证明勾股定理的逆定理.图（1）师：对于刚才的勾股定理的逆命题，它是真命题吗？ 生：思考、讨论，回答师生共同写出已知、求证.已知：如图（1），在ABC中，AB=c，BC=a， AC=b，并且a2+b2=c2.求证： ABC是直角三角
8、形师：要证明ABC是直角三角形，我们只要证明C是直角，那如何证明C是直角呢？请同学们再画一个RtABC,使AC=4cm，BC=3cm，和刚才我们所画的ABC比较一下，你有什么发现？ 小组讨论得出证明思路，证明猜想的正确性.教师适时点拨，总结证明步骤. 师：通过刚才的证明，我们可以得出前面的猜想是正确的.正确的命题我们成为真命题，所以我们把勾股定理的逆命题称为勾股定理的逆定理. 板书“勾股定理的逆定理”师：想一想勾股定理的逆定理中 “如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。”，“两边”指的是哪两边？“第三边”又指什么边？哪条边所对的角是直角？生：较小的两条边、最大边、
9、最大边。师：因此，要判定一个三角形是直角三角形，只需要知道三边是否满足“两边的平方和是否等于第三边，即较小的两边的平方和是否等于最大边的平方”即可。设计意图：引导学生构造直角三角形，让学生体会这种证明思路的合理性，帮助学生突破难点。 3.定理的应用 例1：（课本第58页） 根据下列三角形的三边a、b、c的值，判断三角形是不是直角三角形。如果是，指出哪条边所对的角是直角？（1）a=7，b=24，c=25；（2）a=7，b=8，c=11. 解（1）最大边是c=25，c2=625， a2+b2=72+242=625， a2+b2=c2， ABC是直角三角形，最大边c所对的角是直角. 第（2）题由同学
10、们仿照上面自己解答. 师生共同分析（1），学生判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形，教师板书做题过程；学生独立完成(2)找学生上黑板。 设计意图：这是利用勾股定理的逆定理进行判断练习，通过练习把陈述性的定理转换为认知操作，学会用勾股定理及其逆定理判断一个三角形是否为直角三角形.巩固练习:1、填空如果一个三角形的三边为a ,b ,c 满足a2+c2=b2,那么这个三角形是三角形,其中 b边是边,b边所对的角是角. 2、下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？（课本第59页 练习1）（1） a=2,b=3,c=4;（2） a=9,b=7,c=12; （
11、3） a=25,b=20,c=15;勾股数的概念：像25,20,15这样,能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数.师：同学们还能说出几组勾股数吗？（课本第59页 练习2）生：思考、讨论、回答师：如果我们要说出100组、1000组勾股数呢，同学们还能很快说出来吗？有没有什么简便做法呢，有没有公式呢？同学们请看例2。师出示例2：（课本第59页）已知：在ABC中，三条边长分别为a=n2-1，b=2n，c=n2+1（n1）。求证：ABC为直角三角形.分析：在a、b、c三边中，哪一条边是最大边？需要得出什么，才能证明ABC为直角三角形？请同学们分组讨论，然后完成证明过程.生：分组讨论，合作
12、交流三、巩固应用 能力提升师：请同学们根据刚才得到的公式再说出几组勾股数。 设计意图：让学生在在合作交流的氛围中，掌握快速找到勾股数的方法。 3.在ABC中，三边长a, b, c满足（a+c）（a-c）= b2,则在ABC是什么三角形？（课本第59页 练习3）ABCD 4. 如图，老师家刚做了一张桌子，现在想要检测桌面的角是不是直角，但是我只带了一把带有刻度的皮尺,你能帮我想办法完成任务吗?（课本第59页 练习4） 设计意图:通过规范化的解答过程及练习，提升对勾股定理逆定理的认识以及实际应用的能力及意识。四、总结提升引导学生参照以下问题回顾本节课所学主要内容，并进行相互交流：（1） 勾股定理的
13、逆定理的内容是什么？它有什么作用？（2） 本章内容学习了勾股定理与它的逆定理知识，你能说出它们之间的关系吗？（3） 勾股定理的逆定理是如何证明的？（4） 在应用勾股定理的逆定理时，我们应注意什么问题？（5） 常见的勾股数组你记熟了吗？ 五、作业布置 必做题：课本第60页 习题18.2 第1题、第4题选做题：已知：a，b，c为ABC的三边，且满足a2+b2 +c2 +50=6a+8b+10c试判断ABC的形状六、板书设计18.2勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。勾股定理的逆命题 互逆命题勾股定理直角三角形两条直角边的平方和, 等于斜边的平方。 例1 解：(1)最大边是c=25,2522=625， a2+b2=72+242=625 a2+b2=c2 ABC是直角三角形，最大边c所对的角是直角。(2) 略命题的证明
