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1、第四章 力学量用算符表达与表象变换4.1）设与为厄米算符，则和也是厄米算符。由此证明，任何一个算符均可分解为，与均为厄米算符，且证：）为厄米算符。）也为厄米算符。）令，则，且定义 （1）由），）得，即和皆为厄米算符。则由（1）式，不难解得 4.2）设是的整函数，证明整函数是指可以展开成。证： （1）先证。同理，现在，而 。又 而 4.3）定义反对易式，证明证：4.4）设，为矢量算符，和的标积和矢积定义为，为Levi-civita符号，试验证 （1） （2） （3）证：（1）式左端（1）式右端也可以化成 。 （1）式得证。（2）式左端 （）（2）式右端 故（2）式成立。（3）式验证可仿（2）式。
2、4.5）设与为矢量算符，为标量算符，证明 （1） （2）证：（1）式右端（1）式左端（2）式右端 （2）式左端4.6）设是由，构成的标量算符，证明 （1）证： （2） （3）同理可证， （4） （5）将式（3）、（4）、（5）代入式（2），于是（1）式得证。4.7）证明 。证：利用基本对易式 即得 。因此 其次，由于和对易，所以因此，4.8）证明 （1） （2） （3） （4）证: （1）利用公式 ，有其中 因此 （2）利用公式， （）可得 由，则（2）得证。（3）（4）就此式的一个分量加以证明，由4.4）（2）， ，其中（即）类似地。可以得到分量和分量的公式，故（4）题得证。4.9）定义径向
3、动量算符 证明：， ，证：，即为厄米算符。据4.8）（1），。其中 ，因而 以左乘上式各项，即得4.10)利用测不准关系估算谐振子的基态能量。解：一维谐振子能量 。又奇，（由(3.8)、(3.9)题可知），由测不准关系，得 。，得 同理有，。谐振子（三维）基态能量。4.11) 利用测不准关系估算类氢原子中电子的基态能量。解：类氢原子中有关电子的讨论与氢原子的讨论十分相似，只是把氢原子中有关公式中的核电荷数换成（为氢原子系数）而理解为相应的约化质量。故玻尔轨迹半径 ，在类氢原子中变为。类氢原子基态波函数，仅是的函数。而，故只考虑径向测不准关系， 类氢原子径向能量为：。而，如果只考虑基态，它可写为
4、，与共轭，于是， （1）求极值 由此得（：玻尔半径；：类氢原子中的电子基态“轨迹”半径）。代入（1）式，得基态能量，运算中做了一些不严格的代换，如，作为估算是允许的。4.12)证明在分立的能量本征态下动量平均值为0。证：设定态波函数的空间部分为，则有为求的平均值，我们注意到坐标算符与的对易关系：。这里已用到最基本的对易关系，由此这里用到了的厄米性。 这一结果可作一般结果推广。如果厄米算符可以表示为两个厄米算符和的对易子，则在或的本征态中，的平均值必为0。4.13）证明在的本征态下，。（提示：利用，求平均。）证：设是的本征态，本征值为，即，同理有：。4.14) 设粒子处于状态下，求和解：记本征态
5、为，满足本征方程，利用基本对易式 ，可得算符关系 将上式在态下求平均，因作用于或后均变成本征值，使得后两项对平均值的贡献互相抵消，因此 又上题已证 。同理 。4.15)设体系处于状态（已归一化，即），求（a）的可能测值及平均值;（b）的可能测值及相应的几率；（c）的可能测值及相应的几率。解：，；，。（a）由于已归一化，故的可能测值为，0，相应的几率为，。平均值。（b）的可能测值为，相应的几率为，。（c）若，不为0，则（及）的可能测值为：，0，。1）在的空间，对角化的表象中的矩阵是求本征矢并令，则，得，。）取，得，本征矢为，归一化后可得本征矢为。）取，得，本征矢为，归一化后可得本征矢为。）取，得
6、，归一化后可得本征矢为。在态下， 取的振幅为，取的几率为；取的振幅为，相应的几率为；取的振幅为，相应的几率为。总几率为。2）在的空间，对角化表象中的矩阵利用 ，。，本征方程，。），本征矢为。在态下，测得的振幅为。几率为；），本征矢为。在态下，测得的振幅为，几率为。），本征矢为，在态下，测得几率为。），本征矢为，在态下，测得的振幅为。几率为；），本征矢为，在态下，测得的几率为。在态中，测（和）的可能值及几率分别为：4.16）设属于能级有三个简并态，和，彼此线形独立，但不正交，试利用它们构成一组彼此正交归一的波函数。解： ，。是归一化的。，。它们是正交归一的，但仍然是简并的（可验证：它们仍对应于同一能级）。4.17）设有矩阵等，证明，表示矩阵相应的行列式得值，代表矩阵的对角元素之和。证：（1）由定义，故上式可写成：，其中是的任意一个置换。（2）（3）（4）（5）15
