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1、2013年高考第一轮复习资料理科数学 第73讲 轨迹问题【考点解读】1. 了解曲线与方程的关系，2掌握求动点轨迹的基本思路和常用方法3.培养用坐标法解题的思想【知识扫描】1.曲线与方程的关系 一般的，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点均是曲线上的点.那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.2.求轨迹方程的基本思路(1)建立适当的直角坐标系，设曲线上的任意一点（动点）坐标为M(x,y).(2)写出动点M所满足的几
2、何条件的集合.(3)将动点M的坐标代入几何条件,列出关于动点坐标的方程f(x,y)=0.(4)化简方程f(x,y)0为最简形式.(5)证明（或检验）所求方程表示的曲线上的所有点是否都满足已知条件.注意：第（2）步可以省略，如果化简过程都是等价交换，则第（5）可以省略；否则方程变形时，可能扩大（或缩小）x、y的取值范围，必须检查是否纯粹或完备（即去伪与补漏）.3.求轨迹方程的常用方法(1)直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量(如距离与角)的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系转化为x,y的等式就得到曲线的轨迹方程；(2)定义法：某动点的轨迹符合某一基本轨迹(
3、如直线、圆锥曲线)的定义,则可根据定义采用设方程求方程系数得到动点的轨迹方程；(3)代入法(相关点法)：当所求动点M是随着另一动点P(称之为相关点)而运动，如果相关点P满足某一曲线方程，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，再把相关点代入曲线方程，就把相关点所满足的方程转化为动点的轨迹方程；(4)参数法：有时求动点应满足的几何条件不易得出，也无明显的相关点，但却较易发现这个动点的运动常常受到另一个变量(角度、斜率、比值、截距或时间等)的制约，即动点坐标(x,y)中的x,y分别随另一变量的变化而变化，我们可称这个变量为参数，建立轨迹的参数方程；(5)交轨法：在求两动曲线交点的轨迹问题时，通过引入
4、参变量求出两曲线的轨迹方程，再联立方程，通过解方程组消去参变量，直接得到x,y的关系式.【考计点拨】1.方程表示的曲线是（ ）A一个圆 B. 两个圆 C. 半个圆 D. 两个半圆【答案】D2.已知椭圆 =1的左、右焦点分别为F1、F2,P为椭圆上一动点,延长F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,则动点Q的轨迹方程是 .【答案】3.的两个顶点B（-2，0），C（2，0），顶点A 在抛物线上移动，则 的重心的轨迹方程为 .【解析】设的重心G为(x, y), A(x0, y0) 则由重心坐标公式有x= , y=即x0 = 3x, y0 = 3y顶点A 在抛物线上移动 3y = (3x)2 +1 ，即
5、所求轨迹方程为.4.设F（1，0），M点在x轴上，P点在y轴上，且当点P在y轴上运动时，则N点的轨迹C的方程为 【解析】【解】，故P为MN中点又，P在y轴上，F为（1，0），故M在x轴的负方向上，设N（x，y）则M（x，0），（x0）， 又故 即 是轨迹C的方程。PQAB M5.已知两点以及一条直线，设长为的线段AB在直线上移动，则直线PA和QB的交点M的轨迹方程为 .【解析】设M(x,y), A(a, a) , B(b, b), 不妨规定a0)的顶点A作互相垂直的两直线分别交抛物线于B、C两点，求线段BC的中点M轨迹方程。【解析】解：A（-2p,0）,设直线AB的方程为y=k(x+2p)(k
6、0).与抛物线方程联立方程组可解得B点的坐标为，由于AC与AB垂直，则AC的方程为，与抛物线方程联立方程组可解得C点的坐标为，又M为BC中点，设M（x,y）,则，消去k得y2=px,即点M的轨迹是抛物线。【变式训练】求过点(0，2)的直线被椭圆x2+2y2=2所截弦的中点的轨迹方程.【解析】：设直线方程为y=kx+2, 把它代入x2+2y2=2, 整理得(2k2+1)x2+8kx+6=0. 要使直线和椭圆有两个不同交点，则0，即k-或k. 设直线与椭圆两个交点为A(x1，y1)、B（x2，y2），中点坐标为C(x,y)，则 x=-,y=-=. 从参数方程(k-或k),消去k得x2+2（y-1）
7、2=2,且x，0y考点五、用交轨法求轨迹方程【例5】已知双曲线1(m0，n0)的顶点为A1、A2，与y轴平行的直线l交双曲线于点P、Q.(1) 求直线A1P与A2Q交点M的轨迹方程；(2) 当mn时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.【标准解析】(1)设P点的坐标为(x1，y1)，则Q点坐标为(x1，y1)，又有A1(m，0)，A2(m，0)，则A1P的方程为：yA2Q的方程为：y得：y2又因点P在双曲线上，故代入并整理得1.此即为M的轨迹方程.(2)当mn时，M的轨迹方程是椭圆.()当mn时，焦点坐标为(,0)，准线方程为x，离心率e()当mn时，焦点坐标为(0,)，准线方程为y，离心率e.用交轨法求交点的轨迹方程时，不一定非要求出交点坐标，只要能消去参数，得到交点的两个坐标间的关系即可。交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况。6
