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1、信号稀疏分析雎友晨江苏科技大学苏州理工学院第五章 从准确到近似解5.1通用动力 确切的约束往往是宽松的，使用二次罚函数的一个近似相等测得。这样放宽使我们能够给(1)定义一个准解决方案在没有精确解存在的情况下。(即使是在这种情况下,A有更多的行比列);(2)利用最优化理论的想法;(3)衡量一个候选解决方案的质量;等等。 继前几节的原理，你可以重新考虑以及容许Ax和B之间的略有出入。我们定义的一种的容错版本，与容错，通过 subject to (5.1)这里范数用于评测处的误差可以被其他选择所取代，例如，或加权范数。 在这个问题上大小为的误差是被允许的，在提议的代表性和所述信号b之间。当和被应用于
2、同样的问题例如，该容错问题，必须始终给出结果至少稀疏，这些引起，因为可行集较宽。事实上，对于一个典型的一般问题例子，的解决方案将具有n个非零元素。在另一方面，在一些实际问题（我们将在下面看到），虽然的解决方案是密集的，从的解决方案可以看出，有更少的非零，趋于稀疏。 另一种更自然的解释问题是噪声去除。考虑到一个更加稀疏向量,并假设，其中e是能量有限的滋扰矢量。大致来说的目的是找到,即，做和大致相同的事情就是做无噪声数据。在后面的章节中我们将回到这个解释并使其准确，利用统计估计，导致公式类似于。在过去的工作中用各种形式研究这个问题，在本章中，我们将讨论一些现在已知。结果在某些方面平行那些无噪声的情
3、况下。具体而言，我们应该讨论唯一性 - 在充分稀疏的解决方案是全局已知最小化条件下。追求实用的技术近似的解决这个问题;和等同的理论保证他们成功回复所需的解决方案。接下来我们将看到,然而,独特性和等价的概念不再适用他们被稳定的概念所取代。5.2稳定稀疏的解决方案 在将目光转向近似（）解决方案之前，首先要解决一个更加基本的问题：假设一个稀疏向量乘以A，而我们观察这个结果，且，考虑应用（）去得到一个近似值，并得到一个解， subject to 多么好的近似值是如何实现的？如何准确的从运用稀疏，稀疏解决方案的唯一性是这些问题的自然延伸，我们在问题唯一性的情况下在第二章中讨论。5.2.1唯一性与稳定性
4、- 直观收益 正如我们接下来的展示，在通常情况下我们不能要求（）的唯一性。为了证明这一点，我们提出一个简单的实验：A被选择为两正射大小24，。我们产生一个随机噪声E.预先指定标准，并创建向量。因此，图5.1呈现了，b的位置，该区域的，且=0.2。最后这些图像的区域（即乘以一个A后)的所有可行的x是解()问题的办法。当然，矢量X0构成一个可行的解决方案，同时又非常稀疏。事实上，这是一个最佳（）的解决方案，在没有稀疏解决方案存在意义（一个稀疏的解决方案是仅在零矢量，和它是可行集之外）。可能有另一种可行的解决稀疏的方案？图。5.1二维展示缺乏独特的嘈杂情况下，与相对较弱的噪音。图5.1所示的形式，与
5、x的值的一些解决方案也是可行的，虽然具有相同的基数。图5.2给出了相同的实验，这次使用更强的噪声，。这导致一个不同的方案,我们不仅失去独特性还相对于支持,但其他支持与基数是可能的，事实上，即使是零也包括在内，这意味着这是（）最佳的解决方案。 下面是更正式地解释。我们应表示和和A的包含在支持体S元素/列的部分，假定x是稀疏候选通过载体S解决这一问题，与，它满足约束，。 如果恰巧Xs也是长期的极小点,且，我们可以在此支持下提出任何备选解决方案，在这任期因为Xs周围任何扰动导致增加因此违背约束。在图5.1的条件，这种情况发生时的最近点到B上的绿线是A，或者说差异，如果失真是正交的的列。在其他所有情况
6、下，事实证明 意味着扰乱所谓最佳解XS中，保留了其可行性和支撑方式的能力，因此，我们得到了一组x的解决方案。图5.2二维演示缺乏独特性的嘈杂的情况下,如图5.1所示,但具有更强的噪声,允许有不同的替代方案。 此外,如果一些非零项在x是足够小,这种扰动可能为空,导致一个稀疏的解决方案。5.2.2稳定性理论研究 所以，回到我们原来已经提出的问题，而不是声称稀疏解的唯一性，我们更换这个概念的稳定性声称如果找到得到稀疏的解决方案,那么所有的替代解决方案必然所在极为类似。下面的分析，由多诺霍，埃拉德工作采取的，导致这种稳定性的要求。我们首先回到的定义和扩展，并很快的考虑到线性相关的概念。在无噪声情况下，
7、我们考虑了两个同类解决方案和的线性系统Ax = b的，这导致了该关系的。这促使矢量d的稀疏性研究在A的零空间，这自然引出了的定义。 按照同样的道理，我们现在应该考虑两个基本可行解和达到的要求。考虑到b为中心半径的球体，既和存在于它或在其表面上。因此,这两个向量之间的距离最多是,图5.3 b的向量,一个圆的中心,并且图像中两个候选的方案,和相距。这导致 和之间的距离最多。如图5.3所示,我们的关系，一个不同的方式去看这下面,利用三角不等式: （5.2） 因此我们应该推广允许接近零空间,如下定义。定义5.1。给定一个矩阵，我们考虑所有可能的子集的第列，每一个这样的组构成的子矩阵作为的。我们定义作为
8、尽可能小的S（列数）从而得到保证。 。 （5.3）在也就是说，这是最小的(整数)的列数,可以收集到的,使得中最小的奇异值2不大于。因为，这种需求降低线性选定列的依赖性，因此，我们有=。当然，在中是单调递减，且 （5.4） 我们也知道我们得到（A）=1，因为任何单个（和标准化）列具有一个奇异值等于1。一个基本属性是方程意味着。同样，该属性推广的版本如下：引理5.1。如果且，然。证明：此属性是上述定义的直接后果，和奇异值的基本性质。的定义,存在至少一个子集A与的列,这样它的最小奇异值或以下。此外，该定义规定，任何一组小于的列保证所有的奇异值都严格在以上。 现在，考虑这样一种情况。通过奇异值的基本性
9、质，对应的子矩阵作为大小为（sn)的矩阵A？ M（M N）与归列，并为一个整数标量，考虑子矩阵作为含有s从列A。定义为最小量，使得 ， （5.17）秉承对于s列的任何选择。则A被说成具有一个s-RIP具有恒定的。 在上述定义的关键思想是要求使得s列的任何子集从A表现得像一个正交变换,失去/收益几乎没有能量。很显然，这个定义只是信息。 这是很容易看到的RIP和之间的相似的属性。而是引发所需的最小数量的列s要得距离奇点,RIP修复s和寻求的最低值（5.17），再次暗示，这些s列（)远离奇点。需要注意的是，在这方面，RIP是更丰富的，因为它从上方也提出了一个约束。我们接下来将看到，RIP使得稳定性分析容易得多。图5.4描述了和RIP之间的关系。 给定一个矩阵,它是很难甚至不可能评价因为,这需要得到所有的支持。在这方面，这一措施是复杂如的进行评估。事实上，正如我们已经使用有界的，这是可以在这里完成，导致。需要注意的是对于s=1我们有，由于列是规范化的。上述结合在RIP恒定是很容易看到通过 （5.18） 在上面的我们使用革兰氏的结构矩阵,在主对角线和邻对角线条目界。我们还使用了规范等效不等式向量c的长度s。下面可以建立类似的 （5.19） 在这里，我们再次使用规范等效不等式。上述范围的替代，更容易推导（从上方和下方）可使用圆盘定理来获得，指
