数列章节序言课.docx

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1、 数列章节序言课 一附中 陈清源【教材分析】 数列是上海教材高二第一学期的内容，包含数列概念、等差等比数列的研究、数学归纳法和数列极限。数列章节在教材中起着承上启下作用，因为数列是一类特殊的函数，所以，通过数列与函数间的联系，不仅可以加深学生对数列概念的认识，而且还可以促进学生运用函数的观点直观形象地研究数列的一些问题，以便进一步研究数列的性质，通过这样的类比迁移使学生了解数列的研究内容与研究方法，促进学生目标形成系统的数学知识体系。这对于学生在之后学习等差、等比数列也有着铺垫作用；对数学归纳法的学习，有助于学生归纳猜想论证能力的培养，更增强证明的严谨和思维的完善；通过对数列极限的学习，学生将

2、从有限走向无限，进一步理解量变到质变的辩证法规律。【学情分析】 由于学校进度的安排，数列这一章节在高一第二学期末阶段将全部结束。高一阶段的学生已经有一定的生活经验和转化能力，他们的思维正从经验性的逻辑思维向抽象思维发展。在高一第一学期学习了函数的概念、表示方法、基本性质和一些简单的函数后，已经初步具备了抽象概括、类比迁移、归纳猜想的数学能力，具有数形结合、化归、从特殊到一般等数学思想方法，这为学生学习数列概念奠定了良好的基础.【教学目标】1. 了解数列章节需要学习的对象、内容和方法；2. 理解数列及其有关概念，在理解有穷数列和无穷数列后，体会从有限到无限的发展过程；3. 理解数列与函数的关系，

3、通过类比函数的知识和研究方法，进一步掌握数列的研究内容和研究方法，并能解决简单问题；掌握类比、数形结合、从特殊到一般的数学思想方法；4. 在生活实例和数学史中体会数列与生活的联系、归纳-猜想-论证的必要性，感受数学的应用价值，了解古代数学家对数列知识的探究历史和辉煌成就，激发学习兴趣和探究欲望.【教学重点】 利用类比、数形结合、从特殊到一般的数学思想方法研究数列【教学难点】 能够类比研究函数的方法来研究数列【教具准备】 多媒体演示设备【教学过程】一、 情境引入1、 找规律 找出下面这些数的规律并填空：(1) -2, 2, 6, 10, 14, 18，（ ）,(2) 20，-10，-5，（ ），

4、(3) 1，3，6，10，15，21，（ ）(4) 1,1,2,3,5，（ ），13,21,34,65，像这样，按一定顺序排列起来的一列数叫做数列 (sequence of number).数列中的每一个数叫做这个数列的项.【设计意图】从生活实例出发，引发学生得出已有认识中的数列概念。 2、数列的起源 数列古已有之，20世纪50年代在扎伊尔发掘出公元前9000到6500年的骨具被认为是人类原始数学活动的一种证据。如果骨具上每一组刻痕代表一个数字，那么三行刻痕分别代表三个数列： 11,21,19,9 ； 11,13,17,19 ； 3,6,4,8,10,5,5,7旧石器时代的人刻下这三列数的动机

5、尽管已无从考证，但这告诉我们：当人类祖先需要用一组数有序地表达一类事物，记录某个变化过程时，数列也就应运而生了。【设计意图】了解数列在人类历史上的起源，进一步感受数列与人类生活的密切联系。二、 讲授新课（一）概念辨析学什么？问：在刚才的两个例子中我们得出了数列的概念，也注意到几个关键词“按顺序，有序”。也就是说，数列的每一个位置上都有一个确定的数，即数列中的每一项都与项的序数有关。那么我们如何用符号语言来表示？预设回答：用表示数列中的第项，是的序数.因此数列的一般形式可以写成，可简单记作注意：与集合概念不同！练习1：概念辨析（1）与有什么区别？（2）与表示同一个集合吗？（3）与表示同一个数列吗

6、？预设回答：(1)数列；集合 (2)是，集合无序性 (3)不是，数列的项与序数有关。【设计意图】将数列与集合概念进行辨析，找到区别，对数列进行进一步认识。（二）概念类比怎么学？1、问：从定义中可以看出，数列的项与序数有着对应关系，这让我们联想到什么学过的知识？预设回答：函数。可把序数看作自变量，数列的项看作因变量，得出函数关系，即数列是特殊的函数。例如：从函数角度认识，数列 （三种表示方法，函数的基本性质） 回忆：函数的三种表示方法列表法、图像法、解析式法 函数的基本性质定义域、值域、奇偶性、单调性、最值、零点如果数列的第n项与项的序数n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数

7、列的通项公式(general term). 数列三种表示方法列表法123456654321图像法通项公式法数列的性质： 值域为 单调递增递减数列 有穷数列 总结：数列是特殊的函数，数列的图像是一列离散的点。思考：数列 值域为 无穷数列 【设计意图】通过与函数的研究内容和研究方法的类比，得到数列的三种表示方法、通项公式的概念，意识到数列是特殊的函数，其图像是一列离散的点；并通过变式思考让学生认识有穷数列与无穷数列。2、中国古代对数列的认识 在课本第7章首页有这么一段话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”庄周庄子 天下篇译文：一根一尺长的木棒，每天截下其一半，这样的过程可以无限地进行下去。如果把木棒

8、每天的长度记录下来，可得到一列数： 通项公式问：如何理解“万世”？预设回答：无穷数列常见数列类型：有穷数列，无穷数列，递增数列，递减数列，常数列，摆动数列（如）练习2：写出数列的前5项摆动数列练习3：请写出摆动数列的通项公式（设计意图：通项公式不唯一）【设计意图】以课本引言上的例子，让学生感受到数列在中国古代就得到体现，并借此认识几种常见的数列类型。3、常见数列模型等差、等比数列例：最近微信“夸夸群”特别火爆，也有人借此找到商机，施行“收费夸赞”。小明因为接连几次数学测验失利缺乏自信，所以咨询了2个夸夸群主，想付费进群得到“彩虹屁”。群主A：按分钟收费，第一分钟1元，之后每分钟所付的钱数都比前

9、一分钟多一元；群主B：按分钟收费，第一分钟0.1元，之后每分钟所付的钱数都是前一分钟的两倍。如果你是小明，你会如何选择？预设回答：若时长小于等于8分钟，选B更便宜；若时长超过8分钟，选A更便宜。问：请写出A,B两群主要求的每分钟支出钱数对应的两列数？预设回答：分钟1234nA1234nB问： 请写出这两个数列的通项公式？ 问：你能利用函数的知识来解释吗？ 预设回答： 问：你能用数列知识量化地解释吗？预设回答：（数列求和） 问：这两个数列各有什么特别之处？预设回答：数列是等差数列，数列是等比数列 等比数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等

10、比数列(geometric sequence),这个常数叫做等比数列的公比(common ratio)。等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列(arithmetic sequence),这个常数叫做等比数列的公差(common difference)。【设计意图】结合之前类比函数的知识与方法解决实际问题；在情境中抽象出等差、等比数列模型，渗透从特殊到一般的数学思想方法，让学生对常见数列模型有了新的认识，为之后等差、等比数列前n项和的求解打下基础；在问题解决的过程中感受数列的项、通项公式、数列的和之前互相推导求解的过程，为之后进一步

11、学习做铺垫.4、 对无穷数列的再认识刘徽“割圆术”中的微分思想提到刘徽,不得不提我国数学史上的一部经典九章算术。后世的数学家,大都是从九章算术开始接触、学习、研究并热爱上数学。正是因为九章算术无可撼动的经典地位,数学家们争相为其作注,其中最负盛名的当属刘徽所注,称为九章算术注。九章算术,其首章“方田章”就讨论了各种几何图形的度量问题,并且提供了求圆面积的“圆田术”,文中道出了我们今天所通用的方法,即圆面积等于圆周长和半径两者乘积之半。但这里只给出了一个概括性质的方法,或者说,只给了一个目的地,但是如何通往这个目的的路却并没有铺设出来。通俗来讲,就好像是出了一道难题,然后直接写出答案,却并没有给

12、出详细的求证过程。对于一般人来说,知道答案就已经足够,没有兴趣,或者有兴趣也没有能力去勘破这其中奥秘。可刘徽不是一般人,他通过刻苦认真的研究,最终为这篇“圆田术”进行了清晰的注解,后世称为割圆术。具体过程：设圆的直径为1，依次计算出这个圆的内接正三角形、正六边形、正十二边形、正二十四边形、正四十八边形的周长，用今天的话来讲，就是把这些周长依次排成一个数列，刘徽发现这个数列的项无限趋近于一个常数（数列的极限），这个常数就是圆周率。为什么呢？刘徽说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”这其中体现的就是微分思想。 （三）生活中的数列为什么学？ 数列在生活中也有着许多

13、实际应用，因此学习数列对于我们的生活有着影响。钢琴上不同的琴键对应不同的声音，难道这是随意排布的吗？会不会它们之间有着特别的联系？钢琴一共有88个键，对应的频率如下表所示，你能从数值中找出什么规律吗？答：它们各自的频率组成一个等比数列，公比是科普：钢琴一共有88个键，琴键频率呈等比。原因主要有二：一是因为人耳分辨两个音的高低靠的是两个音之间的频率比例，频率差别越大，越容易被人耳辨别。二是因为由于声音是周期性振动，且音乐合成效果需要考虑到悦耳性，所以琴键的排列具有周期性，频率也需要成等比关系，且一个八度的频率被设置为二倍关系，因此公比就成为了。三、拓展延伸拓展：费马素数费马,他给出了这样一个公式： 由于因此费马认为，当n取自然数时，都是质数。直到1732年，欧拉算出F5=6416700417，也就是说F5不是质数，宣布了费马的这个猜想不成立，它不能作为一个求质数的公式。之后，人们又陆续找到了不少反例如n=6 时， F6=27417767280421310721不是质数。四、小结五、作业布置1、阅读课本P27页英文文献Fibonacci Sequence，圈画出斐波那契数列的递推公式，感兴趣的同学可以思考如何利用递推关系推导斐波那切数列的通项公式?2、查阅资料了解斐波那契数列在现实生活中还有哪些应用。3、预习7.1数列，完成课后练习。