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1、椭球形储油罐油量计算 菏泽一中高二36班杨阳 指导教师 孙国林 摘要：椭球形储油罐的油量计算较为复杂，本文采用随机模拟的方法，在试验次数较多的情况下，使得频率可近似代替概率，计算出油量，并给出每隔0.2m油高度的油量表。最后，本方法具有一般性，对于能方便在三维直角坐标系的不规则图形，都能较快计算出体积。关键字：椭球形 油量计算 随机模拟一、问题提出及分析 在一次参观某小型油田时，了解到油田开采出来的石油是通过储油罐运送到炼油厂，储油罐里的油量一般用流量计来估计。而实际上由于石油的特殊性，油量估计结果往往误差较大，于是希望能直接通过测量储油罐内油的高度直接估计油量。 据调查了解到，运输的储油罐一
2、般多为球形和椭球形。学习了课本知识，教科书中一般给出规则体积的计算公式，比如球体积计算公式，圆台计算公式，但是对于稍微不太“好看”的体积，比如椭球的一部分（如上右图）计算就比较麻烦。因此，本文以较为复杂的椭球形储油罐为例，对于储油罐的油量进行计算。二、模型假设1.忽略储油罐可能存在的变形情况，即储油罐是一个标准的椭球形； 2.不考虑由于温度、压强变化等原因而引起储油罐的体积变化；3.相对于储油罐体积来说，储油罐罐壁可以忽略；三、 模型建立3.1模型思想 我们假想有个正方体能够将椭球形储油罐内的石油都包括进去，然后向这个假想的正方体 随机投点，那么这些点一部分落在液体区域，一部分落在液体外的区域
3、，落在液体区域的点的个数除以总投的点的个数就是正方体的点落在液体区域的概率。用正方体的体积乘以这个概率就是液体的体积。当投射的点足够多时就能保证所求的油量非常接近真实油量。 3.2坐标系建立 建立下图所示的坐标系，油罐中心在坐标系原点，其中 阴影代表油面； 表示方向半轴长； 表示方向半轴长； 表示方向半轴长； YY i=i+1 iNUM 输出V 开始 输入， 取试验个数和变量初值 调用随机函数产生随机点点在液体空间区域 add=add+1NNxzyabc3.3具体做法3.3.1设油量高度为，油液面的方程为，椭球形油罐的方程表示为，则储油罐液体任意一点可由下面方程表示 3.3.2假想存在一个边长
4、为的立方体，其中为，中的最大值，立方体的中心位于坐标原点，三个坐标轴分别垂直过立方体的面。利用计算机编程可以产生若干组随机数，每组随机数包含三个数，三个数的范围都是,这三个数分别代表一个点的坐标的，值，然后判断这点是否在液体所在的空间区域内。若干次试验后，计算出所有组的点落在液体区域内的频率。试验次数足够多，频率代替概率，这个概率乘以正方体的体积就是所求的液体的体积。3.3.3计算机的算法流程（如右图）四、 模型求解 对于实际问题，当，时，计算储油罐内的油量。 首先，我们简单对模型进行验证。假设，即在坐标系中上平面为，此时为液体体积刚好是半个椭球。查找相关公式，半椭球的体积为 我们取不同量级的
5、投点个数，即不同的NUM值，用MATLAB编程，结果如下表： 投点个数对结果的影响投点NUM（10）234567体积V 140134 128.4125.02125.30125.61相对误差（%）11.40 6.632.170.52 0.29 0.05 由上表可知，当投点个数越多，结果越接近实际值。当投点个时，相对误差仅为0.05%，此时也可知道频率可近似代替概率。下面我们取NUM=个，对液体高度每间隔0.2 m，分别求出储油量（如下表）： 椭球形储油罐油量表h（米）V（立方米）h（米）V（立方米）h（米）V（立方米）h（米）V（立方米）001.644.143.2138.244.8225.370
6、.20.811.854.323.4150.695232.500.43.20265.123.6162.845.2238.940.67.012.276.563.8174.895.4244.350.812.202.488.524186.095.6248.21118.592.6100.744.2196.775.8250.681.226.202.8113.154.4207.226251.421.434.613125.584.6216.77五、模型分析及推广1.本文中的模型运用概率的知识，能较为精确、快捷的计算出储油罐的油量，而不用较为复杂的体积公式。2.本方法具有一般性。对于生活中复杂体积求解问题，若是能较为方便的在直角坐标系中表示，则也能较快的计算出体积，随着投点增多，精确度越来越高。六、参考文献谭永基，蒋鲁敏，中学数学建模与赛题集锦，复旦大学出版社，2008附件cleara=4;b=5;c=3;d=max(a,b,c);for h=0:0.2:6;NUM=107;i=0; add=0;while iNUMx=(2*rand(1)-1)*d;y=(2*rand(1)-1)*d;z=(2*rand(1)-1)*d;if(z=h-c&x2/a2+y2/b2+z2/c2=1) add=add+1;endi=i+1;endV=8*d3*add/NUMend
