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1、2007-2008学年第2学期考试试题（A）卷课程名称 计算方法 任课教师签名 江世宏出题教师签名 江世宏 审题教师签名 戴祖旭考试方式 （闭）卷 适用专业 05级信息专业考试时间 （120）分钟题 号一二(1)二(2)二(3)二(4)二(5)总分得 分评卷人说明：考试中可使用计算器；答题时，标明题号并将答题写到答题纸上；交卷时请将试题一并交上。一、填空题( 每空5分, 本题共50分 )1、设，其近似值，则具有 位有效数字。2、设，则差商 。3、设，则对于，有 。4、对任意初值，迭代式收敛的充分条件是 ， 。5、求常微分方程初值问题的单步数值公式收敛的充分条件是 ， 。6、求积公式中的参数 时
2、，才能保证该求积公式的代数精度达到最高，此时的代数精度为 。7、矛盾方程的最小二乘解是 。二、计算题与证明题（每题10分，本题共50分）1、设在上具有二阶连续导数，且，试证2、求函数在0，1上的最佳一次平方逼近多项式。3、说明方程具有唯一正实根，构造求根的迭代公式,并讨论所构造迭代公式的收敛性和收敛速度。4、确定系数，使求解常微分方程初值问题数值解的两步公式具有最高的精度，并推导其局部截断误差的主项以及该数值公式的精度。5、已知方程组，其中，。（1）试讨论用雅可比迭代法和高斯塞德尔迭代法求解此方程组的收敛性；（2）若有迭代公式，试确定的取值范围，在这个范围内任取一个值均能使该迭代公式收敛。20
3、07-2008学年第2学期计算方法试题（A）卷标准答案及评分标准一、填空题1 32 13 4 5 单步公式具有阶精度 或 ，L正常数6 ， 37 或二、计算题与证明题1、解：过点, 的一次插值多项式为 .2分由插值余项有 .6分记令,得驻点故 . 8分故 .10分2、解：设，所求函数，则,.6分可得法方程组. 8分解得.10分3、解：令，又，故在(0,1)内有唯一实根。.4分，取迭代式 ，取，在0，1上，故迭代收敛。.8分因在0，1上，故迭代是一阶收敛。.10分4、解：假设，于是故：，.6分解得：，两步公式为：.8分主项为:9分该两步公式的精度为2。.10分5、解：的特征值为雅可比迭代.2分高
4、斯塞德尔迭代.5分对于雅可比迭代，其谱半径，故雅可比迭代收敛。 .7分对于高斯塞德尔迭代，其谱半径，故高斯塞德尔迭代收敛。.8分对于迭代，其迭代矩阵的特征值为，当时，其迭代收敛，即.10分2007-2008学年第2学期考试试题（B）卷课程名称 计算方法 任课教师签名 江世宏出题教师签名 江世宏 审题教师签名 戴祖旭考试方式 （闭）卷 适用专业 05级信息专业考试时间 （120）分钟题 号一二(1)二(2)二(3)二(4)二(5)二(6)二(7)总分得 分评卷人说明：考试中可使用计算器；答题时，标明题号并将答题写到答题纸上；交卷时请将试题一并交上。一、填空题(每空5分,本题共30分)1、设，其近
5、似值，则具有 位有效数字。2、设，则差商 。3、对于区间上的互异节点()，插值型求积公式的系数应满足 。4、求解非齐次线性方程组的迭代法对任意初值收敛的充分条件为 。5、构造一个求常微分方程初值问题数值解的预报校正系统需要的条件有 。6、对于求常微分方程初值问题数值解的显示欧拉公式，其稳定的条件为 。二、计算题与证明题（每题10分，本题共70分）1、求一个次数不高于3的多项式，满足下列插值条件12324123并给出其误差公式（可不加以证明）。2、求函数在0，1上的最佳一次平方逼近多项式。3、设有解方程的迭代法（1）讨论此迭代在上的整体收敛性；（2）给出此迭代的收敛速度。4、对于方程组（1）给出
6、其雅可比迭代的矩阵形式；（2）并讨论其雅可比迭代的收敛性。5、设有求解初值问题的如下格式：求常数，使该式具有最高的局部截断误差，并给出其局部截断误差主项。6、设在上具有二阶连续导数，试证明定积分计算的中矩公式7、设，且可逆，试证明：2007-2008学年第2学期计算方法试题（B）卷标准答案及评分标准一、填空题1 22 03 4 5 同精度的显示与隐式公式6 或二、计算题与证明题1、解1：据插值条件有：5分解得： .8分解2：建立差商表如下：一阶差商二阶差商三阶差商122422431312852 .5分插值多项式 .8分插值余项为10分2、解：设，所求函数，则,，.6分可得法方程组. 8分解得，.10分3、解：迭代函数，对任意的故迭代收敛。.5分设，则，且.7分故 故该迭代的收敛速度为1阶的。. .10分4、解：雅可比迭代为. . 5分令 . .10分故雅可比迭代收敛。5、解：假设，于是从而 令 ，解得：，7分主项为 . 9分精度为2阶10分6、解：.5分两边积分有 . .10分7、证明：，.4分. 10分1
