《排列组合中的分组问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《排列组合中的分组问题（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、排列组合中的分组问题有些排列组合问题的条件相似，但由于涉及“元素”、“位置”的有关条件互异，会有不同的 解法，下面举例说明。例1、 6 个相同的小球分成三堆，有几种不同的分法？分析 要完成该“事件”（即6个小球分三堆），有三点要注意：（1）由于6 个小球是相同的， 所以分成的三堆，只要看每堆的数量，而不必去看到底哪几个小球分在哪一堆（；2）在完成 后，交换任何两堆小球的位置，都不影响分堆的结果；（3）一堆小球至少有一个，否则不成 其“堆”。每堆的小球个数有以下三种请况：4，1，1；3，2，1；2，2，2，故有 3 种分堆方法。 回顾 由于本事件中的对象：小球都是相同的，而且要求分成三堆，这三堆
2、并没有第一、第 二、第三堆的差别，因而在完成该事件过程中，造成分法差异的只有小球的个数。例2、 6 个相同的小球，放入三个不同的盒子，每个盒子中至少一个，有几种放法？ 分析 本例与例1 相比，多了一个条件：将小球放入三个“不同的盒子”，造成分法的差异有 两个条件：（1）小球的个数；（2）盒子的不同。也就是说，此时如果两个盒子的小球的数量 不同，对换这两个盒中的小球，那么对应的是不同的分法，若两个盒子中小球的个数相同， 那么即使对换两个盒子的小球，也还是对应着同一种分法。第一类：三个盒子中小球的数量分别为4，1，1，此时要选出一个盒子放4 个小球，剩下两个盒子分别放一个小球，所以有C1种分法；3
3、第二类：三个盒子中小球的数量分别为3， 2， 1，由于三个盒子中小球数各不相同，所以相当于一个排列问题，有A3种分法；3第三类：三个盒子中小球的数量分别为2， 2， 2，小球的数量一样，小球也相同，所以只 有 1 种分法。所以共有C1 + A3 +1 10种分法。33回顾 例1与例2 相比，在题设中增加了造成事件完成方法产生差异的条件，这个条件，可 看作是“分成三堆，但给这三堆分别编上号，使第1， 2， 3 堆各不相同。”例3、 6 个不同的小球分成三堆，有几种的分法？分析 例3和例1 相比，同样是分“堆”，因此，交换任何两堆小球的位置，不会使分法不同。 而造成分法的差异在于：（1）这些小球互
4、不相同；（2）两堆小球有不同的数量。所以当三堆 小球的数量确定后，分法并没有确定，还需看到底哪几个球在这一堆。第一类：三堆相同的小球的数量分别为4， 1， 1，则先从6 个不同的小球中选出4 个作为一堆，剩下两个小球自然形成两堆，共C4种分法；6第二类：三堆小球的数量分别为3， 2， 1。先从6 个不同的小球中选出3 个，再从剩下三个小球中选出2个，共C3 - C2种分法；63C 2 - C 2第三类：三堆小球的数量分别为2, 2, 2,有七种分法。A33C 2 . C 2所以共有C4 + C3. C2 +4 - 90种不同的分法。66 3A33回顾 从例 1 到例 3，我们逐步领悟到了不同的
5、条件对事件的完成方法所造成的差异。但在例3的第三类完成方法中产生了新问题：为什么要除以A3 ?3 这是因为三堆小球的数目都为2，该问题是一个“均匀分组”问题，由于6个小球均匀地分成三组，形成不同的A3个排列，实际上是同一个排列，故要除以A3。33例4、 6 个不同的小球放入三个不同的盒子中，每个盒子中至少有一个，有几种方法？分析 在本例中，既要考虑每个盒子到底放几个小球，还要看哪几个小球放入该盒子，既要选小球，还要选盒子，这就是常见的排列组合综合问题。第一步，是将“6个不同的小球分成三堆(组)”，这其中涉及组合，如“有一堆小球的数量为 4”，则分出这三堆小球的方法有C4种。分成三堆后，将“这三
6、堆分别放入三只不同的盒子”这是排列问题，因为这三6堆小球各不相同。因此本例在例3的基础上完成：N = A3 X90 = 540种(不同的分法)。3如果具体来做，可按以下过程来完成：第一类：三个盒子内小球的数量分别为4， 1， 1。先从6个不同的小球中选出4个小球，看成一件物品，它和剩下两个小球可看作三件物品，分别放入三个不同的盒子，有C4 A3种。63 第二类：三个盒子内小球的数量分别为3， 2， 1。先从6个不同的小球中选出3个，再从剩下三个小球中选出2个小球，选好后分别放入三个不同的盒子，有C3.C2 .A3种。633第三类：三个盒子内小球的数量分别为2, 2, 2。有C2 C2 . C2
7、种。642所以，共有C4 * A3 + C3. C3. A3 + C2 . C2 .C2 =540 种(不同的分法)。63633642从上面的例子中可见，能够区分排列组合问题中造成完成方法不同的两个主要因素：“元素”和“位置”，这样，才能得出正确的答案。点评：下列问题的解法可仿照上述四例进行求解：(1) 将 10 个苹果分成四堆，每堆至少1 个，共有几种分法？(2) 5 个学校中选出 8名学生组成代表团，要求每校至少1 人的选法有几种？(3) n(n 1)个不同的小球放入n个不同的盒子中，如果恰好有一个盒子是空盒，共有几种不同的放法？(4) 将4名教师分配到3个班级去参加活动，要求每班至少1名教师的分配方法有几种？(5) 6本不同的书，分给甲、乙、丙3人， 1人1本， 1人2本， 1人3 本，有几种不同 的分法？(6) 高三年级有8个班，分派4名数学教师任教，每名教师教两个班，不同的分派方法有几种？
