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1、第七讲 证明（三）矩形与菱形一、 知识要点：1矩形、菱形的定义、性质和判定方法：名称定义性质判定边角对角线对称性矩形有一个角是直角的平行四边形对边平行且相等四个角都是直角互相平分且相等轴对称，中心对称1、有一个角是直角的平行四边形；2、有三个角是直角；3、对角线相等的平行四边形菱形有一组邻边相等的平行四边形对边平行，四边相等对角相等互相平分且垂直轴对称，中心对称1、有一组邻边相等的平行四边形；2、四边都相等；3、对角线互相垂直的平行四边形；4、对角线垂直平分，平分每一组对角。2矩形、菱形的面积公式：（表示矩形的长与宽）（表示菱形的对角线长）3理解矩形、菱形与平行四边形的关系：（1）它们都是平行
2、四边形，都有平行四边形的共同性质。（2）矩形的4个角都是直角；菱形的四条边都相等。由此又有它们各自的特性。（见上表）二、 题型练习一判断题：（对的画“”，错的画“”）1两条对角线互相垂直且相等的四边形是菱形。2菱形的对角线的交点到各边的距离相等。3菱形的每一条对角线都是它的对称轴。4在矩形内部没有和各顶点距离相等的点。5对角线相等是矩形具有而一般平行四边形不具有的性质。6对角线互相平分且相等的四边形是矩形。7相邻两边互相垂直的四边形是矩形。二选择题：1已知菱形的高与它的周长比是1：8。则其内角的顺次比是（ ）A5：5：1：1； B1：5：5：1；C1：5：1：5； D5：2：5：2。2下列真命
3、题的个数是（ ）（1）矩形的对角线大于夹在两对边间的任意线段。（2）两条对角线相等的四边形是矩形。（3）有两个角相等的平行四边形是矩形。（4）两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形。A4个；B3个；C2个；D1个。3矩形的两条对角线所成的其中一角是65，则其对角线与各边所成的角度是（ ） A57.5； B32.5； C57.5或33.5； D57.5或32.5。4若菱形的两邻角之比为12，较短的对角线长是6，则较长的对角线的长为（ ）A；B；C6；D2。5一个菱形的两条对角线分别长6和8，则这个菱形的面积是（ ） A48；B24；C12；D18。6如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，E是CD
4、上一点，且AE=AB，则CBE的度数是（ ） A30； B22.5； C15；D以上答案都不对。7菱形的周长是20，两邻角的比是12，那么较短的对角线的长是（ ）A4.5；B5；C3.5；D。8矩形ABCD中，DEAC于E，ADE=CDE，则BDE等于（ ） A22.5；B30； C45； D60。三填空题：1矩形的宽是3，两对角线夹角是60，则矩形的对角线的长是_。2矩形的两对角线夹角为60，一条对角线与短边的和为15，则短边长为_，对角线的长是_。3菱形的周长是16，一条对角线长为4，则这个菱形的四个角的度数分别是_。4已知一个菱形的两条对角线的长分别是，则它的面积是_，周长为_。5在菱形
5、ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且AE=EF=AF=AB，则B=_。6矩形的对角线相交所成的钝角为120，矩形的短边长为5，则对角线的长为_。7在菱形ABCD中，若A=60，BD=3，则菱形的周长为_。三、 解答题1、如图，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，于E，于F。第1题图 求证BE=CF。2、如右图，在矩形ABCD中，AC.BD相交于O，AE平分BAD 交BC于E，若CAE=15求BOE的度数 。3、菱形ABCD中，对角线AC = 16 cm，BD = 12 cm，BECD于点E，求菱形ABCD的面积和BE的长.4、如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DEAC，CEBD（1）
6、试判断四边形OCED的形状，并说明理由；（2）若AB=6，BC=8，求四边形OCED的面积5、. (2011 江苏省南京市) 如图，将的边延长到点，使，连接，交于点（1）求证：；（2）若，连接，求证：四边形是矩形答案：证明：（1）四边形是平行四边形，在和中，（2）解法一：，四边形是平行四边形四边形是平行四边形，又是矩形6、. (2011 福建省南平市) 1）操作发现：如图1，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将ABE沿AE折叠后得到AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论（2）类比探究：如图2，将（1）中的矩形ABCD改为平行四边形，其
7、它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由（图1）GD（图2）ECBFA答案：1）猜想：证法一：连接，四边形是矩形，沿折叠后得到，证法二：连接，四边形是矩形，沿折叠后得到，FABDCEG（2）答：仍然成立连接，四边形是平行四边形沿折叠后得到，7、(2011 山东省临沂市) 如图，中，、分别是两个外角的平分线（1）求证：；（2）若，求证：四边形是菱形AFDECB 答案：证明：（1）平分，平分，（2）证明：四边形为平行四边形.又由（1）知四边形是菱形.8、(2011 福建省福州市) 已知，矩形中，的垂直平分线分别交于点，垂足为（1）如图1，连接求证四边形为菱形，并求的长；（2）如图2，动点
8、分别从两点同时出发，沿和各边匀速运动一周，即点停止，点自停止在运动过程中，已知点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒，当四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值若点的运动路程分别为（单位：，），已知四点为顶点的四边形是平行四边形，求与满足的数量关系式图1图2备用图答案：（1）证明：四边形是矩形垂直平分，垂足为四边形为平行四边形又四边形为菱形设菱形的边长，则在中，由勾股定理得，解得（2）显然当点在上时，点在上，此时四点不可能构成平行四边形；同理当点在上时，点在或上，此时也不能构成平行四边形；因此只有当点在上、点在上，才能构成平行四边形以四点为顶点的四边形是平行四边形时，点的速度为每秒5cm，点的速度为每秒4cm，运动时间为秒解得以四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒由题意得，以四点为顶点的四边形是平行四边形时，点在互相平行的对应边上分三种情况：如图1，当点在上、点在上时，即，得如图2，当点在上、点在上时，即，得如图3，当点在上、点在上时，即，得综上所述，与满足的数量关系式是图1图2图3
