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1、空间向量与立体几何一、选择题1(2013南昌模拟)在空间中，已知(2,4,0)，(1,3,0)，则ABC的大小为()A45B90C120D135【解析】由(2，4,0)，(1,3,0)得cos，又0，180，ABC135.【答案】D2(2013山东高考)已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面积是边长为的正三角形若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为()A. B. C. D.【解析】画出三棱柱ABCA1B1C1，作出PA与平面ABC所成的角，解三角形求角如图所示，P为正三角形A1B1C1的中心，设O为ABC的中心，由题意知：PO平面ABC，连接OA，则
2、PAO即为PA与平面ABC所成的角在正三角形ABC中，ABBCAC，则S()2，VABCA1B1C1SPO，PO.又AO1，tanPAO，PAO.【答案】B3在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD平面ABCD，ABPDa.点E为侧棱PC的中点，又作DFPB交PB于点F.则PB与平面EFD所成角为()A30 B45C60 D90【解析】建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，D为坐标原点则P(0,0，a)，B(a，a,0)，(a，a，a)，又，00，所以PBDE.由已知DFPB，又DFDED，所以PB平面EFD，所以PB与平面EFD所成角为90.【答案】D4在正方体ABCDA1B1C
3、1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A. B. C. D.【解析】以A为原点建立空间直角坐标系，如图设棱长为1，则A1(0,0,1)，E，D(0,1,0)，所以(0,1，1)，设平面A1ED的一个法向量为n1(1，y，z)，则所以所以n1(1,2,2)设平面ABCD的一个法向量为n2(0,0,1)，所以|cosn1，n2|.即平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为.故选B.【答案】B5P是二面角AB棱上的一点，分别在，平面上引射线PM，PN，如果BPMBPN45，MPN60，那么二面角AB的大小为()A60 B70 C80 D90【
4、解析】不妨设PMa，PNb，作MEAB于点E，NFAB于点F，如图因为EPMFPN45，所以PEa，PFb，所以()()abcos 60abcos 45abcos 45ab0.所以，所以二面角AB的大小为90.【答案】D二、填空题6已知a(2，1,1)，b(1,4，2)，c(11,5，)若向量a，b，c共面，则_.【解析】由向量a，b，c共面可得cxayb(x，yR)，故有解得【答案】17(2013湛江模拟)已知空间不共面四点O、A、B、C，0，且|，则OM与平面ABC所成角的正切值是_【解析】由题意可知，OA、OB、OC两两垂直，如图，建立空间直角坐标系，设OAOBOC1，则A(1,0,0)
5、，B(0,1,0)，C(0，0,1)，M(，0)，故(1,1,0)，(1,0,1)，(，0)设平面ABC的法向量为n(x，y，z)，则由，得，令x1，得平面ABC的一个法向量为n(1,1,1)故cos，所以OM与平面ABC所成角的正弦值为，正切值为.【答案】8如图4311，正方体ABCDA1B1C1D1，则下列四个命题：图4311P在直线BC1上运动时，三棱锥AD1PC的体积不变；P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；P在直线BC1上运动时，二面角PAD1C的大小不变；M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是过D1点的直线其中真命题的编号是_
6、(写出所有真命题的编号)【解析】因为BC1AD1，所以BC1平面ACD1，BC1上任意一点到平面ACD1的距离为定值，所以VAD1PCVPACD1为定值， 正确；P到面ACD1的距离不变，但AP的长在变化，所以AP与面ACD1所成角的大小是变量，错误；面PAD1即面ABC1D1，所以面ABC1D1与面ACD1所成二面角的大小不变，正确；M点的轨迹为A1D1，正确【答案】三、解答题9(2013江门模拟)如图4312，直角梯形ABCD中，ABCD，ABBC，AB1，BC2，CD1，过A作AECD，垂足为E.F、G分别是CE、AD的中点现将ADE沿AE折起，使二面角DAEC的平面角为135.图431
7、2(1)求证：平面DCE平面ABCE；(2)求直线FG与平面DCE所成角的正弦值【解】(1)证明：DEAE，CEAE，DECEE，DE，CE平面CDE，AE平面CDE，AE平面ABCE，平面DCE平面ABCE.(2)以E为原点，EA、EC所在直线分别为x，y轴，建立空间直角坐标系DEAE，CEAE，DEC是二面角DAEC的平面角，即DEC135，AB1，BC2，折起前CD1，折起前后CE1，DE不变，A(2,0,0)，B(2,1,0)，C(0,1,0)，E(0,0,0)，D(0，1,1)F、G分别是CE、AD的中点，F，G，(2,0,0)，由(1)知是平面DCE的法向量，设直线FG与平面DCE
8、所成角为，则sin ，故直线FG与平面DCE所成角的正弦值为.10(2013四川高考)如图4313，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，ABAC2AA1，BAC120，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD的中点图4313(1)在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l平面ADD1A1；(2)设(1)中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角AA1MN的余弦值【解】(1)如图(1)，在平面ABC内，过点P作直线lBC，因为l在平面A1BC外，BC在平面A1BC内，由直线与平面平行的判定定理可知，l平面A1BC.因为ABAC，
9、D是BC的中点，所以BCAD，则直线lAD.因为AA1平面ABC，所以AA1l.又因为AD，AA1在平面ADD1A1内，且AD与AA1相交，所以直线l平面ADD1A1.(1)(2)设A1A1，则ABAC2.如图，过点A1作A1E平行于C1B1，以点A1为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz(点O与点A1重合 )，则A1(0,0,0)，A(0,0,1)(2)因为P为AD的中点，所以M，N分别为AB，AC的中点，故M，N，所以，(0,0,1)，(，0,0)设平面AA1M的一个法向量为n1(x1，y1，z1)，则即故有从而取x11，则y1，所以n1(1，0)设
10、平面A1MN的一个法向量为n2(x2，y2，z2)，则即故有从而取y22，则z21，所以n2(0,2，1)设二面角AA1MN的平面角为，又为锐角，则cos .故二面角AA1MN的余弦值为.11(2013济南模拟)已知四边形ABCD是菱形，BAD60，四边形BDEF是矩形，平面BDEF平面ABCD，G、H分别是CE、CF的中点图4314(1)求证：平面AEF平面BDGH.(2)若平面BDGH与平面ABCD所成的角为60，求直线CF与平面BDGH所成的角的正弦值【解】(1)G、H分别是CE、CF的中点，所以EFGH.连接AC与BD交与O，因为四边形ABCD是菱形，所以O是AC的中点，连接OG，OG是三角形ACE的中位线，OGAE.又EFAEE，GHOGG，则平面AEF平面BDGH.(2)BFBD，平面BDEF平面ABCD，所以BF平面ABCD.取EF的中点N，连接ON，则ONBF，ON平面ABCD，建立空间直角坐标系如图所示，设AB2，BFt(t0)，则B(1,0,0)，C(0，0)，F(1,0，t)，H，(1,0,0)，.设平面BDGH的法向量为n1(x，y，z)，即n1(0，t，)，平面ABCD的法向量n2(0,0,1)，|cosn1，n2|，所以t29，t3，所以(1，3)，设直线CF与平面BDGH所成的角为，sin |cos，n1|.
