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1、7-7-5.容斥原理之最值问题教课目标1. 认识容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用知识重点一、两量重叠问题在一些计数问题中，常常遇到有关会集元素个数的计算求两个会合并集的元素的个数，不可以简单地把两个会集的元素个数相加，而要从两个会集个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：ABABAB(此中符号“”读作“并”，相当于中文“和”也许“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思)则称这一公式为包括与消除原理，简称容斥原理图示以下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB，即暗影面
2、积图示以下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB，即暗影面积1先包括AB重叠部分AB计算了2次，多加了1次；2再消除ABAB把多加了1次的重叠部分AB减去包括与消除原理告诉我们，要计算两个会集A、B的并集AB的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算会集A、B的元素个数，而后加起来，即先求AB(意思是把A、B的全部元素都“包括”进来，加在一起)；第二步：从上边的和中减去交集的元素个数，即减去CAB(意思是“消除”了重复计算的元素个数)二、三量重叠问题A类、B类与C类元素个数的总和A类元素的个数B类元素个数C类元素个数既是A类又是B类的元素个数既是B类又是
3、C类的元素个数既是A类又是C类的元素个数同时是A类、B类、C类的元素个数用符号表示为：ABCABCABBCACABC图示以下：图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示B的元素的个数，大圆表示C的元素的个数1先包括：ABC重叠部分AB、BC、CA重叠了2次，多加了1次2再消除：ABCABBCAC重叠部分ABC重叠了3次，但是在进行ABCABBCAC计算时都被减掉了3再包括：ABCABBCACABC在解答有关包括消除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思虑例题精讲【例1】“走美”主试委员会为三八年级准备决赛试题。每个年级级都不一样。假如每道题出此刻不一样年级，最多只好出现试题。【考点】容斥原
4、理之最值问题【难度】4星【题型】填空【重点词】走美杯，4年级，决赛，第9题【分析】每个年级都有自己8道题目，而后可以三至五年级共用12道题，而且最罕有3次。本届活动最少要准备4道题目，六到八年级共用8道题与其余各年道决赛4道题目，总合有864256（道）题目。【答案】56题【例2】将113这13个数字分别填入以以下图的由四个大小相同的圆切割成的圆内的7个数相加，最后把四个圆的和相加，问：和最大是多少？【考点】容斥原理之最值问题【难度】4星【题型】填空13个地域中，而后把每个【分析】越是中间，被重复计算的越多，最中心的地域被重复计算四次，将数字按从大到小挨次填写于被重复计算多的区格中，最大和为：
5、134+（12+11+10+9）3+（8+7+6+5）2+（4+3+2+1）=240.【答案】240【例3】如图，5条相同长的线段拼成了一个五角星假如每条线段上恰有这个五角星上红色点最罕有多少个?【考点】容斥原理之最值问题【难度】4星【题型】填空1994个点被染成红色，那么在【分析】以以下图，以下图中“”地址均有两条线段经过，也就是交点，假如这些交点所对应的线段都在“”地址恰有红色点，那么在五角星上重叠的红色点最多，因此此时显现的红色点最少，有19945-(2-1)10=9960个【答案】9960【例4】某班共有学生48人，此中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球那么，这个班最少有
6、多少学生这三项运动都会？【考点】容斥原理之最值问题【难度】4星【题型】填空【分析】（法1）第一看最罕有多少人会游泳、自行车两项，因为会游泳的有27人，会骑自行车的有33人，而总人数为48人，在会游泳人数和会骑自行车人数确立的状况下，两项都会的学生最罕有27334812人，再看会游泳、自行车以及乒乓球三项的学生人数，最罕有1240484人.该状况可以用线段图来构造和表示：23|24总人数0|115|1627|2848|27人48人游泳33人自行车游泳40人（法2）设三项运动都会的人有x人，只会两项的有y人，只会一项的有z人，那么依据在统计中会n项运动的学生被统计n次的规律有以低等式：3x2yz2
7、73340xyz48x,y,z0由第一条方程可获取z1003x2y，将其代入第二条式子获取：1002xy48，即2xy52而第二条式子还可以获取式子xy48，即2xy48x联立和获取48x52，即x4可行状况构造同上【答案】4【牢固】某班有50名学生，参加语文比赛的有28人，参加数学比赛的有23人，参加英语比赛的有20人，每人最多参加两科，那么参加两科的最多有人【考点】容斥原理之最值问题【难度】4星【题型】填空【分析】依据题意可知，该班参加比赛的共有28232071人次因为每人最多参加两科，也就是说有参加2科的，有参加1科的，也有不参加的，共是71人次要求参加两科的人数最多，则让这71人次尽可
8、能多地重复，而712351，因此至多有35人参加两科，此时还有1人参加1科那么能否存在35人参加两科的状况呢？因为此时还有1人是只参加一科的，假设这个人只参加数学一科，那么可知此时参加语文、数学两科的共有(282220)215人，参加语文、英语两科的共有281513人，参加数学、英语两科的共有20137人也就是说，此时全班有15人参加语文、数学两科，13人参加语文、英语两科，7人参加数学、英语两科，1人只参加数学1科，还有14人不参加检验可知吻合题设条件因此35人是可以达到的，则参加两科的最多有35人（自然本题中也可以假设只参加一科的参加的是语文或英语）【答案】35【牢固】60人中有2的人会打
9、乒乓球，3的人会打羽毛球，4的人会打排球，这三项运动都会的人有22人，345问：这三项运动都不会的最多有多少人？【考点】容斥原理之最值问题【难度】4星【题型】填空【分析】设只会打乒乓球和羽毛球两项的人有x人，只会打乒乓球和排球两项的有y人，只会打羽毛球和排球两项的有z人因为只会三项运动中的一项的不行能小于0，因此x、y、z有以下关系：40xy22045xz22048yz220将三条关系式相加，获取xyz33，而60人中间会最少一项运动的人数有404548xyz22256人，因此60人中间三项都不会的人数最多4人（当x、y、z分别取7、11、15时，不等式构成立）【答案】4【例5】图书馆有100
10、本书，借阅图书者需在图书上署名已知这100本书中有甲、乙、丙署名的分别有33，44和55本，此中同时有甲、乙署名的图书为29本，同时有甲、丙署名的图书为25本，同时有乙、丙署名的图书为36本问这批图书中最罕有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过?AB甲乙C丙【考点】容斥原理之最值问题【分析】设甲借过的书构成会集【难度】4星【题型】填空A，乙借过的书构成会集B，丙借过的书构成会集CA=33,B=44，C=55，A B=29，AC=25，BC=36本题只需算出甲、乙、丙中最罕有一人借过的书的最大值，再将其与100作差即可ABCABCABACBCABC,当ABC最大时，ABC有最大值.也就是说当三人都借过的书最多时，甲、乙、丙中最少有一人借过的书最多而ABC最大不超出A、B、C、AB、BC、AC6个数中的最小值，因此ABC最大为25此时ABC=33+44+55-29-25-36+25=67，即三者最罕有一人借过的书最多为67本，因此这批图书中最罕有33本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过【答案】33【牢固】甲、乙、丙都在读同-一本故事书，书中有100个故事每个人都从某一个故事开始，按序次今后读已知甲读了75个故事，乙读了60个故事，丙读了52个故事那么甲、乙、丙3人共同读过的故事最罕有多少个?【考点】容斥原理之最值问题【难度】4星【题型】填空【分析】考虑甲
