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1、第07讲 恒定电流的电场和磁场（2）本节内容：1， 磁通连续性原理2， 真空中的安培环路定律3， 磁矢位4， 磁偶极子上节回顾：线电流，面电流，体电流例 一无限长直导线通过电流I，求空间任意一点的磁感应强度。xyz解：如图，导线沿z轴放置，则磁场与z无关，即任意点处的磁场与处相同。所以， ， xyz例 一通过电流I的环，半径为a，求其轴线上任意一点的磁感应强度。解：如图，导线环放置在xoy平面，中心位于原点。则， ， ， 例 宽度为2a的无限薄导体通过总电流I，电流在导体中沿纵向流动并在宽度方向均匀分布，求导体所在平面内距其中线d(da)处的磁感应强度。dxa-adxy解法一：导体中的电流面密
2、度为在导体上处取宽度为长度为的面元，则等效电流元为， 解法二：利用例1的结果处宽为的无限长导体带可看作无限长线电流，电流为，由例1的结果，它在处产生的磁感应强度为例3.2-4 一无限长螺线管半径为a，每单位度绕n匝线圈，导线中电流为I，求其轴线上任一点的磁感应强度。yxz解：根据例2的结果，在处取长度为的螺线管，它可看作半径为a，总电流为的圆环电流，它在z处产生的磁感应强度为所以一，磁通连续性原理磁感应强度在有向曲面上的通量简称为磁通量(或磁通)，单位是Wb(韦伯)，用表示： 如S是一个闭曲面， 则 下面从磁感应强度表达式出发讨论它穿过任意封闭曲面的磁通量。以线电流的磁场为例， 其中由矢量恒等
3、式则有考虑到而梯度场是无旋的，以前就是矢量恒等式所以类似地，面电流和体电流的磁感应强度也满足上式，这说明任意磁场的磁感应强度穿过任意封闭曲面的磁通量恒等于0，这一性质称为为磁通连续性原理。根据散度定理，有由于区域V是任意的，所以在空间任意点都有这是磁通连续性原理的微分形式。说明恒定磁场是无源场（无散度源）。二，真空中的安培环路定律2.1 安培环路定律磁力线必与电流相交链，无电流即无磁场。电流与磁场的关系究竟如何？这就是安培环路定律所要研究的内容。安培环路定律的表达式如下：其中 是任一闭合有向路径，I是与路径相交链的总电流（穿过以为边界的任意曲面的电流）当I的方向与的方向成右手螺旋关系时，I为正
4、，反之为负。此定律不加证明。可通过一简单特例加以验证：无限长线电流的磁场，取为以电流线上一点为中心，在垂直于导线的平面内作一圆周：Irl 由安培环路定律，对下图情况，应有： I4I3I1I2I5l当穿过积分回路的电流是几个电流时， 可以将上式改写为一般形式：根据斯托克斯定理，可以导出安培回路定律的微分形式： 由于因积分区域S是任意的， 因而有 上式是安培环路定律的微分形式，它说明磁场的涡旋源是电流。我们可用此式从磁场求电流分布。对于对称分布的电流， 我们可以用安培环路定律的积分形式，从电流求出磁场。 2.2 安培环路定律的应用与静电场中的高斯定理类似，对于某些特殊分布的电流，可用安培环路定律求
5、磁感应强度。1在闭合路径上的数值处处相等，的方向处处与平行2在的一部分上满足1，在另一部分上处处与垂直或则： 或： 例 半径为a的无限长直导线，载有电流I，计算导体内、外的磁感应强度。 解：在导线内电流均匀分布， 导线外电流为零， 当 时， 积分回路包围的电流为； 当 时，包围电流为。 所以当时 ， 当 时 三， 磁矢位由可知，是管形场，而根据管形场的充要条件，必可表示为某矢量函数的旋度，即：其中称为矢量磁位或简称磁矢位。其单位是Tm(特斯拉米)或Wb/m(韦伯/米)。矢量磁位是一个辅助量 上式仅仅规定了磁矢位的旋度，而的散度可以任意假定。因为若，另一矢量，其中是一个任意标量函数，则 均有相同
6、的旋度，但是其散度不相同。指定一个磁矢位的散度称为一种规范，在恒定磁场中，指定，比较方便，成为库仑规范。后面的内容还有罗伦兹规范，在后面的内容介绍。使用矢量恒等式 由于 带入库伦规范上式是磁矢位满足的微分方程，称为磁矢位的泊松方程。对无源区(J=0)，磁矢位满足矢量拉普拉斯方程，即 为矢量拉普拉斯算子，在任意坐标系下，展开比较复杂，在直角坐标系下可以表示为：从而可以得到其分量形式：与静电场的泊松方程对比，可以得到磁矢位解：从线电流、面电流以及体电流磁感应强度的表达式，也可以推出，它们相应的磁矢位表达式：因为只与源点坐标有关，上式第二项为0，故类似地，面电流和体电流的磁感应强度可表示为可以看出，
7、相应的磁矢位分别为：线电流： 面电流： 体电流： 有时先根据电流分布计算出磁矢位，再由求是方便的。磁通的计算也可以通过磁矢位表示： 其中C为曲面S的边界。例 求长度为l 的载流直导线的磁矢位。当lz时，有 上式中，若再取lr, 则有 例 用磁矢位重新计算载流直导线的磁场。 解： 从电流分布可以知道磁矢位仅仅有z分量，而且它只是坐标r的函数，即 设在导线内磁位是A1, 导线外磁位是A2ra时，可以求出导线内、 外的磁场分别为 导体外部的磁感应强度为 四、磁偶极子尺寸很小的小电流环称为磁偶极子。因小电流环在远区产生的磁场酷似电偶极子在远区产生的电场而得名。I位于坐标原点处的磁偶极子在远处产生的磁场
8、在磁矢位和磁感应强度分别为： 其中称为磁偶极子的磁矩。（电偶极子的远区电场）取载流回路位于xoy平面，且中心在原点，因为电流分布具有对称性，如图所示： 所以磁矢位只有分量。所以磁矢位为其中如果ra，则 由图知所以所以式中，是圆形回路磁矩的模值。一个载流回路的磁矩是一个矢量，其方向与环路的法线方向一致，大小等于电流乘以回路面积，即其定义为 图 二种偶极子远区场分布图当磁偶极子放入外磁场中，要受到外磁场对它的作用： 在均匀外磁场中，。外磁场对它的力矩为： 可见，外磁场的作用将使最终沿方向取向。例 如图所示, 设两根距离为d的无限长平行细直导线, 半径为a, ad, 通有大小相等, 方向相反的电流I。 试求: (1) 矢量磁位A的表示式; (2) 应用公式B=A得到磁通密度的表示式; 解：该题是平面场, 只需计算平面xoy平面上任一点P(x, y, 0)的场。 (1) 这里是对电流源所在点的坐标积分, R=|-|。 因为电流平行z轴, 所以A也平行z轴 在点(d/2, 0, z)和点(-d/2, 0, z)取一对电流元(大小相等、 方向相反), 则P点的矢量磁位是 其中：设双导线在无限远处闭合, 故 所以任意一点P矢量磁位是(2) 在直角坐标中计算B=A即得 作业：3.15：3.17
