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1、(完整word版)【精排】轮换对称性在中学数学中的应用轮换对称性在中学数学中的应用【摘要】数学的对称美使我们在解题中更简便，更有效在解题时，可以根据问题的特点去发掘潜在的对称关系或构造某种对称性,使问题得到巧妙快捷的解决，数学中绚丽多彩的对称美，给我们提供了种种奇妙的解法，同时也给我们带来美的享受在数学学习中要有意识地利用数学问题的对称性特征,去考察数学对象、思考数学问题,形成数学思维的对称方法和解题策略。当前，不少同学认为数学就是一堆呆板的公式和复杂的图形，这是没有真正理解数学的精彩、美妙和趣味.其实数学也是一种美学。“哪里有数学，哪里就有美”。例如数学中的对称性，不仅具有美感，而且具有应用
2、价值。所谓对称美是指某一事物或对象的两个部分的对等性,给人以美的感受。在数学学习中要有意识地利用数学问题的对称性特征，去考察数学对象、思考数学问题，形成数学思维的对称方法和解题策略。轮换对称的概念在数学中有着广泛而重要的应用，如果在求解问题的过程中注意到轮换对称性，并且恰当地利用轮换对称性，则可以减少一些繁琐的计算，化难为易,提高解题效率，达到事半功倍的效果.1、轮换对称性的相关定义与性质轮换对称性的相关定义与性质如下：定义 1。11 如果把一个代数式中的字母按照某个秩序排列,然后依次把第一个字母换成第二个字母，把第二个字母换成第三个字母，把最后一个字母换成第一个字母,我们称这种变换字母的方法
3、叫做轮换.定义 1.21 如果把一个代数式中的字母对调，所得的代数式和原来的代数式恒等，那么，就说原来的代数式关于这些字母对称，原来的代数式就是关于这些字母的对称式。定义 1。32 如果一个函数f(x1，x2）=f(x2，x1），则称该函数是对称函数.定义 1。41 如果通过轮换后所得的代数式与原来的代数式恒等，那么,就把原来的代数式叫做关于这些字母的轮换对称式。定义 1。51 如果轮换对称式中各项的次数相等，那么，就把这样的代数式叫做齐次轮换对称式.性质 1 11 轮换对称式的和、差、积、商也是轮换对称式.性质 1。21 齐次轮换对称式的和、差、积、商也是齐次轮换对称式.2、轮换对称性的应用
4、举例2。1.1 轮换对称性在因式分解中的应用由轮换对称式的性质可知，当一个轮换对称式有某个因式时，它一定还有关于这个因式中的变数的轮换对称式.根据这个性质,再利用因式定理和待定系数法,可以比较简便地把一个轮换对称式因式分解.例 2。11 设ABC 的三边长分别为 a、b、c,且=0则ABC 的形状是_三角形？分析因为已知等式是关于 a、b、c 的轮换对称式，可考虑先去分母，再通过分解因式来确定 a、b、c 的关系。解将原式去分母，并设其为f,得f =(ab）（1+bc)(1+ca)+（b-c)（1+ab）（1+ca)+（c-a)（1+bc)(1+ab)=a（b2 c2）+b（c2a2）+c（a
5、2b2)=0.当a=b时,f=0,由因式定理知f有因式ab.又f是关于a、b、c 的轮换对称式，由性质知，f还有因式bc和c-a。于是,f 有因式g=（a-b）（bc)(ca)由于 f 和 g 都是三次齐次轮换对称式，故 f 和 g 之间只差一个非零常数因子，即f=k(a-b）(b-c）(ca）=0由此可知,a-b、bc、c-a中至少有一个等于0，即a、b、c中至少有两个相等,则三角形至少有两条边相等.所以,三角形是等腰三角形.2。1.2 轮换对称性在恒等式证明中的应用例 2.21 设a、b是方程x2-3x+1=0的两个根,c、d是方程x2-4x+2=0的两个根.已知求证： 证明 由韦达定理得
6、a+b=3,ab=1,c+d=4,cd=2.则a+b+c+d=3+4=7.又a2+b2=（a+b)22ab=7c2+d2=（c+d)2-2cd=12a2+b2+c2+d2=19.由于上式关于 a、b、c、d 轮换对称,同理可得：；故+=2.1。3 轮换对称性在不等式中的应用例 2.3 已知 x 、 y 、 z 为正实数，求证： （x+y+z） 解 这是道轮换对称不等式，原命题（x+y)+(y+z）+（z+x)又x2+y22xy4（x2+xy+y2）3(x2+2xy+y2）4(x2+xy+y2)3（x+y）2且x，yR+（x+y）；(y+z)；(x+z)。所以原命题为真.2。1。4 利用轮换对称
7、性求最值在高考或竞赛的选择、填空题中，常会遇到一类求最值问题,这类问题的特征是条件式与待求式都是轮换对称式即所给式中的字母 x 、 y 、 z 能依次轮换,相互代替，而结果不变,则关于 x 、y、z 的代数式的最大(小）值，一定是在 x = y = z = 时的值。运用此性质，能有效、迅速求解此类题,从而赢得宝贵的时间.例 2.54已知 P（x，y)是曲线C：4x25xy+4y2=5上一动点.设S=x2+y2，则=_解析 依据x、y的轮换对称性，可得仅当x=y，即x2=y2时,S取得最大或最小值,于是S=2x2.由条件4x2-5xy+4y2=5分析可知，当x=y时，x2=最大；当x=-y时，x
8、2=最小。所以Smax=，Smin=.故原式的值是。2.1.5 轮换对称多项式的乘法例2.6 计算（x+y+z）（xy+yz+zx)。分析 因为原式中的两个因式都是关于 x 、 y 、 z 的轮换对称式,由性质 1 知，其积也是关于 x、y、z的轮换对称式，于是，只要把第一个因式的第一个字母乘以第二个因式,然后，按照轮换对称的规律写出其余各项即可解 由于x(xy+yz+zx)=x2y+xyz+zx2.又因为原式为x、y、z的轮换对称式,原式=x2y+xyz+zx2+y2z+yzx+xy2+z2x+zxy+yz2=x2y+zx2+y2z+xy2+z2x+yz2+3xyz3、结语以上的例子让我们见识了轮换对称性的应用是如此的广泛，数学的对称美使我们在解题中更简便，更有效在解题时，可以根据问题的特点去发掘潜在的对称关系或构造某种对称性,使问题得到巧妙快捷的解决，数学中绚丽多彩的对称美，给我们提供了种种奇妙的解法，同时也给我们带来美的享受
