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1、二次函数的图像与性质一、二次函数概念：1二次函数的概念:一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。 【阐明】这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数,而可觉得零.二次函数的定义域是全体实数.2. 二次函数的构造特性： 等号左边是函数，右边是有关自变量的二次式,的最高次数是2. 是常数,是二次项系数，是一次项系数,是常数项.二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式:的性质:a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时,随的增大而增大;时,随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小;时,随的增大而增大；时，有最大值2. 的性质:上加下减。的符号
2、开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时,随的增大而减小;时,随的增大而增大;时,有最大值. 的性质：左加右减。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时,有最小值向下X=h时，随的增大而减小;时,随的增大而增大；时，有最大值.4. 的性质:的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时,随的增大而增大；时，随的增大而减小；时,有最小值.向下X=h时，随的增大而减小;时，随的增大而增大;时,有最大值5. 二次函数的性质 1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为.当时,随的增大而减小;当时,随的增
3、大而增大；当时，有最小值 2. 当时,抛物线开口向下,对称轴为，顶点坐标为.当时,随的增大而增大;当时,随的增大而减小;当时,有最大值.三、二次函数图象的平移 1. 平移环节：措施一: 将抛物线解析式转化成顶点式,拟定其顶点坐标； 保持抛物线的形状不变,将其顶点平移到处，具体平移措施如下: . 平移规律 在原有函数的基本上“值正右移,负左移;值正上移,负下移”概括成八个字“左加右减,上加下减” 措施二：沿轴平移：向上（下）平移个单位，变成(或）沿轴平移：向左（右）平移个单位,变成（或)四、二次函数与的比较从解析式上看,与是两种不同的体现形式,后者通过配方可以得到前者,即,其中.五、二次函数解析
4、式的表达措施. 一般式：（,，为常数，）；. 顶点式:（,为常数，）;3. 两根式：（，,是抛物线与轴两交点的横坐标).注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与轴有交点，即时,抛物线的解析式才可以用交点式表达二次函数解析式的这三种形式可以互化.六、二次函数的图象与各项系数之间的关系 .二次项系数二次函数中,作为二次项系数,显然. 当时,抛物线开口向上,的值越大,开口越小，反之的值越小,开口越大; 当时,抛物线开口向下,的值越小,开口越小,反之的值越大,开口越大总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向,的正负决定开口方向，的大小决定开口
5、的大小.2. 一次项系数 在二次项系数拟定的前提下,决定了抛物线的对称轴 在的前提下，当时，即抛物线的对称轴在轴左侧;当时，即抛物线的对称轴就是轴;当时,即抛物线对称轴在轴的右侧.在的前提下，结论刚好与上述相反,即当时，,即抛物线的对称轴在轴右侧;当时,即抛物线的对称轴就是轴；当时，,即抛物线对称轴在轴的左侧总结起来,在拟定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置的符号的鉴定:对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异”总结: 3 常数项 当时，抛物线与轴的交点在轴上方,即抛物线与轴交点的纵坐标为正; 当时,抛物线与轴的交点为坐标原点,即抛物线与轴交点的纵坐标为; 当时，抛物线与轴的交点
6、在轴下方,即抛物线与轴交点的纵坐标为负/ 总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置 总之,只要都拟定，那么这条抛物线就是唯一拟定的 4.运用二次函数与轴的交点的个数来拟定鉴别式的符号，运用特殊点的坐标拟定特殊代数式的值的范畴。有时还要运用等量代换来判断特殊代数式的值的范畴。二次函数解析式的拟定：根据已知条件拟定二次函数解析式，一般运用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择合适的形式,才干使解题简便.一般来说,有如下几种状况：1.已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小）值,一般选用顶点式;3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选
7、用两根式；4.已知抛物线上纵坐标相似的两点，常选用顶点式.二次函数的图像与性质应用举例:例：小强从如图所示的二次函数的图象中，观测得出了下面五条信息:（1）;（) ；（3);（);（5）. 你觉得其中正确信息的个数有（C）2个 B.3个 C.个 D个11Oxy例2:已知二次函数的图象如图所示,有如下结论：；/；;；其中所有对的结论的序号是（ C )AB.C.D例3:小明从图所示的二次函数的图象中,观测得出了下面五条信息:；;，你觉得其中对的信息的个数有（ C )A2个3个C.4个D.5个分析：错误.由得;由前面的分析知，又由题图知当时，,将代入中得【练】已知二次函数的图象如图所示,有下列5个结
8、论:； ； ; ,（的实数)其中对的的结论有（ C）. 个B. 3个C. 4个D. 5个分析：由图可知,，从而，错误；又当时，错误；由抛物线的对称轴为直线知，当与时函数值相等，因此对的;由于，因此对的;由于二次函数的对称轴为直线，因此当时,函数获得最大值,即当时的函数值不不小于当时的函数值，因此,得，因此对的.例4:如图,是二次函数y=ax+c（a）的图象的一部分, 给出下列命题 ：a+=0；b2a；a2+b+c=0的两根分别为-和1;a-2b+c其中对的的命题是 (只规定填写对的命题的序号)分析:由图知对的且，因此，因此错误;由对的得,因此,因此错误.【练】.已知二次函数的部分图象如图所示，
9、它的顶点的横坐标为，由图象可知有关的方程的两根为 .二次函数图象的对称轴是直线,其图象的一部分如图所示对于下列说法：；0;；当1x0.其中对的的是 (把对的的序号都填上)分析：由图可知,抛物线的对称轴为直线，与轴的一种交点为,得,与轴的另一种交点为,因此，.例5：在同始终角坐标系中,函数和（是常数,且)的图象也许是（ ）xy O xy O xy O xy O 例6:(）已知二次函数的图象以(-1,4)为顶点,且过点B(2，-5）求该函数的关系式;求该函数图象与坐标轴的交点坐标； 答:,交点坐标(2）抛物线过（-1，0),（3，0),（1,4）三点,求二次函数的解析式； 答：例7:已知函数是有关
10、的二次函数,求:（1）求满足条件的的值;（2)为什么值时，抛物线有最低点？最低点坐标是多少?当x为什么值时,随x的增大而增大？()m为什么值时,抛物线有最大值？最大值是多少?当x为什么值时,y随x的增大而减小? 答:（1)或；例8：（1）运用配方求函数的对称轴、顶点坐标。()运用公式求函数的对称轴、顶点坐标。,例9:已知二次函数的图象的对称轴是，且最高点在直线上,求这个二次函数的解析式。答：例10.如图，二次函数的图象通过坐标原点，与轴交于点A（4，0）(1）求二次函数的解析式;(2)在抛物线上存在点P，满足，请直接写出点的坐标答：,的坐标为或例11如图，抛物线通过直线与坐标轴的两个交点A、B
11、,此抛物线与轴的另一种交点为C，抛物线顶点为D.(1)求此抛物线的解析式；（2）点P为抛物线上的一种动点，求使:5 :4的点P的坐标。答：,C，D，,因此，P的坐标为或.二次函数练习试题一、选择题1. 二次函数的顶点坐标是( )A.(2,) B.(，7) （，11） D. （2，)2. 函数和在同始终角坐标系中图象也许是图中的( )3. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论: a,b同号;当和时,函数值相等;当时, 的值只能取0.其中对的的个数是( ) A.1个 B.2个 C3个 D. 个4. 已知二次函数的顶点坐标（1,-3.2)及部分图象(如图）,由图象可知有关的一元二次方程的两个根分别
12、是( ）A-3 B.-23 - .-.3 5. 已知抛物线过点A（,0),B（1，0)，与轴交于点C,且OC=.则这条抛物线的解析式为( ). B. . 或 D. 或二、填空题6. 二次函数的对称轴是,则_。7. 已知抛物线，如果y随x的增大而减小,那么x的取值范畴是 .8. 一种函数具有下列性质:图象过点（-1，2)，当0时，函数值随自变量的增大而增大;满足上述两条性质的函数的解析式是 (只写一种即可）。9. 抛物线的顶点为C,已知直线过点C,则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为 。三、解答题：10. 已知二次函数图象的对称轴是,图象通过(1,-6),且与轴的交点为(0,).第15题图(1)求这个二次函数的解析式；(2)当x为什么值时，这个函数的函数值为0?(3）当在什么范畴内变化时,这个函数的函数值随的增大而增大？11. 如图，抛物线通过直线与坐标轴的两个交点、B,此抛物线与轴的另一种交点为C,抛物线顶点为.(1）求此抛物线的解析式;(2)点P为抛物线上的一种动点，求使:5:4的点P的坐标。
